Punktierte Ebene/Invertierung/Stammfunktion/Analytische Fortsetzung/Aufgabe

Wir betrachten die Funktion ${}f(z)={\frac {1}{z}}$ auf ${}{\mathbb {C} }\setminus \{0\}$ und die Parametrisierung

$[0,2\pi ]\longrightarrow S^{1}\subseteq {\mathbb {C} },\,t\longmapsto e^{{\mathrm {i} }t}=\cos t+{\mathrm {i} }\sin t,$

des komplexen Einheitskreises.

1. Bestimme die Potenzreihen von ${}f$ in den Punkten ${}1,{\mathrm {i} },-1,-{\mathrm {i} }$. Diese Reihen seien ${}f_{1},f_{2},f_{3},f_{4}$. Was ist ihr Konvergenzradius?
2. Bestimme für die Potenzreihen ${}f_{1},f_{2},f_{3},f_{4}$ aus (1) Stammreihen ${}g_{1},g_{2},g_{3},g_{4}$. Dabei sollen die Reihen ${}g_{i}$ und ${}g_{i+1}$ für ${}i=1,2,3$ in ihren Übergangsbereichen übereinstimmen.
3. Zeige, dass ${}g_{4}$ und ${}g_{1}$ in ihrem Übergangsbereich nicht übereinstimmen.
4. Bestimme eine Stammreihe ${}g_{5}$ von ${}f_{1}$, die mit ${}g_{4}$ auf dem Übergangsbereich übereinstimmt.
5. Zeige, dass der Funktionskeim ${}g_{5}$ aus dem Funktionskeim ${}g_{1}$ durch analytische Fortsetzung längs ${}\gamma$ hervorgeht.

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