Punktierte komplexe Ebene/Standardform/Zugehörige Kohomologieklasse/Hauptzweig/Aufgabe/Lösung

Wir ziehen die lokalen Stammfunktionen ${}\ln z$ auf ${}U={\mathbb {C} }\setminus \mathbb {R} _{\leq 0}$ und ${}\ln \left(-z\right)$ auf ${}V={\mathbb {C} }\setminus \mathbb {R} _{\geq 0}$ heran. Die Differenz auf

${}U\cap V={\mathbb {H} }\cup {\mathbb {H} }_{-}\,$

ist ${}-\ln \left(z\right)+\ln \left(-z\right)$. Diese Funktion ist lokal konstant, auf der oberen Halbebene ${}{\mathbb {H} }$ hat sie den Wert

${}-\ln \left({\mathrm {i} }\right)+\ln \left(-{\mathrm {i} }\right)=-\pi {\mathrm {i} }\,$

und auf der unteren Halbebene ${}{\mathbb {H} }_{-}$ den Wert

${}-\ln \left(-{\mathrm {i} }\right)+\ln \left({\mathrm {i} }\right)=\pi {\mathrm {i} }\,.$

Zur gelösten Aufgabe