Punktkonfiguration/Tangentialraum/Kinetische Energie//Beispiel

Im Raum ${}\mathbb {R} ^{3}$ bewegen sich ${}n$ Teilchen mit den Massen ${}m_{1},\ldots ,m_{n}$. Sie befinden sich zu einem bestimmten Zeitpunkt in den Ortspunkten ${}(P_{1},\ldots ,P_{n})\in {\left(\mathbb {R} ^{3}\right)}^{n}$ und besitzen die Momentangeschwindigkeiten ${}(v_{1},\ldots ,v_{n})\in {\left(\mathbb {R} ^{3}\right)}^{n}$. Ihre momentane kinetische Gesamtenergie ist ${}\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{2}}m_{i}\vert {v_{i}}\vert ^{2}$. Diese Konzepte können im Rahmen der riemannschen Geometrie unmittelbar modelliert werden. Wir betrachten ${}M={\left(\mathbb {R} ^{3}\right)}^{n}$ als Punkttupelraum (Konfigurationsraum), wobei wir eventuell zu einer offenen Menge übergehen, um zusammenstoßende Teilchen zu vermeiden. Das Geschwindigkeitstupel zu dem Ortstupel ist ein Element im Tangentialbündel

${}TM=M\times {\left(\mathbb {R} ^{3}\right)}^{n}\,.$

Die kinetische Energie ist eine quadratische Form auf jedem Tangentialraum, entspricht also einem Skalarprodukt und damit einer riemannschen Metrik auf ${}M$. Eine Bewegung in dem System ist eine differenzierbare Kurve

$\gamma \colon I\longrightarrow M,\,t\longmapsto \left(\gamma _{1}(t),\,,\ldots ,,\,\gamma _{n}(t)\right)$

(wobei ${}\gamma _{i}(t)$ den Ortspunkt des ${}i$-ten Teilchens bezeichnet, zu dem wiederum drei Koordinaten gehören) mit der Tangentialabbildung

$\gamma '\colon I\longrightarrow TM.$

Die kinetische Energie zum Zeitpunkt ${}t$ ist dann ${}\left\langle \gamma '(t),\gamma '(t)\right\rangle$. In diesem Modell ist erst mal jede Bewegung erlaubt, physikalische Einschränkungen wie die Wirkung einer Kraft, Energieerhaltung werden noch nicht berücksichtigt.