Pythagoras/Variablenversion/Körper/Aufgabe/Lösung

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen
  1. Sei ein Körper mit Elementen gegeben und sei vorausgesetzt, dass

    ist. Unter Verwendung des Distributivgesetzes (bzw. der zweiten binomischen Formel) bedeutet dies

    Entsprechend ist

    Wenn wir davon zweimal abziehen, und zwar in der oben etablierten Form, so ändert sich der Wert nicht und dies ist gleich

    was insgesamt die Behauptung ist.

  2. Es handelt sich bei um den Satz des Pythagoras. Die sechs Variablen definieren drei Punkte in der Ebene , sagen wir

    Die Verbindungsvektoren sind dann

    und

    Das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren ist

    Dass dies gleich ist, bedeutet, dass diese beiden Vektoren aufeinander senkrecht stehen, dass also ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel an bilden. Das Quadrat der Länge der Strecke von nach ist

    und entsprechend ist

    und

    Der Nachsatz drückt also die Längenbeziehung im rechtwinkligen Dreieck aus.

Zur gelösten Aufgabe