Pythagoras/Variablenversion/Körper/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ein Körper ${}K$ mit Elementen ${}x,y,z,u,v,w$ gegeben und sei vorausgesetzt, dass

   ${}(z-x)(z-y)+(w-u)(w-v)=0\,$

   ist. Unter Verwendung des Distributivgesetzes (bzw. der zweiten binomischen Formel) bedeutet dies

   ${}z^{2}-xz-yz+xy+w^{2}-uw-vw+uv=0\,.$

   Entsprechend ist

   ${}{\begin{aligned}(x-z)(x-z)+(u-w)(u-w)+(y-z)(y-z)+(v-w)(v-w)&=x^{2}+z^{2}-2xz+u^{2}+w^{2}-2uw+y^{2}+z^{2}-2yz+v^{2}+w^{2}-2vw\\&=x^{2}-2xz+u^{2}-2uw+y^{2}-2yz+v^{2}-2vw+2z^{2}+2w^{2}.\end{aligned}}$

   Wenn wir davon zweimal ${}0$ abziehen, und zwar in der oben etablierten Form, so ändert sich der Wert nicht und dies ist gleich

   ${}{\begin{aligned}x^{2}-2xz+u^{2}-2uw+y^{2}-2yz+v^{2}-2vw+2z^{2}+2w^{2}-2{\left(z^{2}-xz-yz+xy+w^{2}-uw-vw+uv\right)}&=x^{2}+u^{2}+y^{2}+v^{2}-2xy-2uv\\&=(x-y)(x-y)+(u-v)(u-v),\end{aligned}}$

   was insgesamt die Behauptung ist.

2. Es handelt sich bei ${}K=\mathbb {R}$ um den Satz des Pythagoras. Die sechs Variablen definieren drei Punkte in der Ebene ${}\mathbb {R} ^{2}$, sagen wir

   $P={\begin{pmatrix}x\\u\end{pmatrix}},\,Q={\begin{pmatrix}y\\v\end{pmatrix}},\,R={\begin{pmatrix}z\\w\end{pmatrix}}.$

   Die Verbindungsvektoren sind dann

   ${}R-P={\begin{pmatrix}z\\w\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}x\\u\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}z-x\\w-u\end{pmatrix}}\,$

   und

   ${}R-Q={\begin{pmatrix}z\\w\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}y\\v\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}z-y\\w-v\end{pmatrix}}\,.$

   Das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren ist

   ${}\left\langle {\begin{pmatrix}z-x\\w-u\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}z-y\\w-v\end{pmatrix}}\right\rangle =(z-x)(z-y)+(w-u)(w-v)\,.$

   Dass dies gleich ${}0$ ist, bedeutet, dass diese beiden Vektoren aufeinander senkrecht stehen, dass also ${}P,Q,R$ ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel an ${}R$ bilden. Das Quadrat der Länge der Strecke von ${}P$ nach ${}Q$ ist

   ${}{\begin{aligned}d(P,Q)^{2}&=\Vert {{\begin{pmatrix}x\\u\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}y\\v\end{pmatrix}}}\Vert ^{2}\\&=\Vert {\begin{pmatrix}x-y\\u-v\end{pmatrix}}\Vert ^{2}\\&=(x-y)(x-y)+(u-v)(u-v)\end{aligned}}$

   und entsprechend ist

   ${}d(P,R)^{2}=(x-z)(x-z)+(u-w)(u-w)\,$

   und

   ${}d(Q,R)^{2}=(y-z)(y-z)+(v-w)(v-w)\,.$

   Der Nachsatz drückt also die Längenbeziehung im rechtwinkligen Dreieck aus.

Zur gelösten Aufgabe