Pythagoreische Tripel/Parametrisierung/Einheitskreis/Bemerkung

Der (Einheits-)Kreis ist ein eindimensionales Objekt und es gibt verschiedene (Teil-)Parametrisierungen für ihn, etwa durch

$x\longmapsto {\left(x,{\sqrt {1-x^{2}}}\right)},$

oder die trigonometrische Parametrisierung

$t\longmapsto (\cos(t),\sin(t)),$

Hier brauchen wir aber eine Parametrisierung, die rationale Zahlen in solche Punkte überführt, deren beide Koordinaten rational sind.

Wir betrachten hierzu die Abbildung, die einen Punkt ${}t$ auf der ${}y$-Achse auf den Durchstoßungspunkt ${}(x,y)$ abbildet, den der Einheitskreis mit der durch ${}(0,t)$ und ${}(-1,0)$ definierten Geraden bildet. Aufgrund des Strahlensatzes haben wir die Bedingung

${}{\frac {t}{1}}={\frac {y}{1+x}}\,$

bzw. ${}y=t(1+x)$. Setzt man diese Gleichung in die Gleichung des Einheitskreises ein, so erhält man

${}1=x^{2}+y^{2}=x^{2}+t^{2}(x+1)^{2}\,$

und damit

${}0=(x^{2}-1)+t^{2}(x+1)^{2}=(x+1){\left((x-1)+t^{2}(x+1)\right)}\,.$

Da uns die erste Lösung ${}x=-1$ nicht interessiert, betrachten wir den zweiten Faktor

${}0=(x-1)+t^{2}(x+1)=x(1+t^{2})+t^{2}-1\,,$

die zu

$x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\,\,\,{\text{ und }}\,\,\,y=t\cdot (x+1)=t\cdot {\left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}+1\right)}={\frac {2t}{1+t^{2}}}$

führt. Die Abbildung

$t\longmapsto {\left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)}=(x,y)$

ist also eine rationale Parametrisierung des Einheitskreises.