Q^2/Mehrfache Darstellung eines Vektors/1/Beispiel

Wir betrachten im ${}\mathbb {Q} ^{2}$ die drei Vektoren ${}{\begin{pmatrix}-5\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}4\\9\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}7\\-13\end{pmatrix}}$. Den Vektor ${}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ kann man als

${}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}=-{\frac {9}{53}}\cdot {\begin{pmatrix}-5\\2\end{pmatrix}}+{\frac {2}{53}}\cdot {\begin{pmatrix}4\\9\end{pmatrix}}+0\cdot {\begin{pmatrix}7\\-13\end{pmatrix}}\,,$

aber auch als

${}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}=2\cdot {\begin{pmatrix}-5\\2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}4\\9\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}7\\-13\end{pmatrix}}\,$

schreiben. Besonders deutlich wird das Uneindeutigkeitsphänomen, wenn man den Nullvektor ${}{\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$ betrachtet. Es ist

${}{\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}=0\cdot {\begin{pmatrix}-5\\2\end{pmatrix}}+0\cdot {\begin{pmatrix}4\\9\end{pmatrix}}+0\cdot {\begin{pmatrix}7\\-13\end{pmatrix}}\,$

die sogennante triviale Darstellung des Nullvektors, aber es ist auch

${}{\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}=115\cdot {\begin{pmatrix}-5\\2\end{pmatrix}}+51\cdot {\begin{pmatrix}4\\9\end{pmatrix}}+53\cdot {\begin{pmatrix}7\\-13\end{pmatrix}}\,.$