Q mod Z/Restklassengruppe/Jede Ordnung/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die Restklasse $\left[\frac{1}{n}\right]$ zum Stammbruch $\frac{1}{n}$. Es ist

$n\left[\frac{1}{n}\right]=\left[\frac{n}{n}\right]=[1]=[0]=0.$

da ja $1$ zu $\mathbb{Z}$ gehört. Für

$1\le k\le n-1$

ist hingegen

$k\left[\frac{1}{n}\right]=\left[\frac{k}{n}\right]$

eine rationale Zahl, die keine ganze Zahl ist. Also ist

$k\left[\frac{1}{n}\right]\ne 0$

und somit ist $n$ die Ordnung von $\left[\frac{1}{n}\right]$.

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