Quadratische Erweiterung/Wurzel -3/Kein Hauptidealbereich/Beispiel

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Wir betrachten den Ring , der aus allen komplexen Zahlen der Form

besteht und ein Unterring des Ringes der Eisensteinzahlen ist. Letzterer Ring ist nach Fakt euklidisch und ein Hauptidealbereich. Dagegen gilt in noch nicht einmal die eindeutige Primfaktorzerlegung, es ist nämlich

und in beiden Zerlegungen sind die Faktoren irreduzibel, da es in (und im Eisensteinring) keine Elemente mit Betragsquadrat . Im Ring der Eisensteinzahlen sind wegen

die Faktoren zueinander assoziiert, aber nicht in , da es dort die Einheit nicht gibt. Das Ideal

ist in kein Hauptideal.