Quadratische Erweiterung/Wurzel -3/Kein Hauptidealbereich/Beispiel

Wir betrachten den Ring  ${}R=\mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]$,  der aus allen komplexen Zahlen der Form

$a+b{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }{\text{ mit }}a,b\in \mathbb {Z}$

besteht und ein Unterring des Ringes der Eisensteinzahlen ${}\mathbb {Z} [{\frac {1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}]$ ist. Letzterer Ring ist nach Fakt euklidisch und ein Hauptidealbereich. Dagegen gilt in ${}R$ noch nicht einmal die eindeutige Faktorzerlegung in irreduzible Elemente. Es ist nämlich

${}{\left(1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }\right)}{\left(1-{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }\right)}=4=2\cdot 2\,$

und in beiden Zerlegungen sind die Faktoren irreduzibel, da es in ${}R$ (und im Eisensteinring) keine Elemente mit Betragsquadrat ${}2$ gibt. Im Ring der Eisensteinzahlen sind wegen

${}1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }={\frac {1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}\cdot 2\,$

die Faktoren zueinander assoziiert, aber nicht in ${}R$, da es dort die Einheit ${}{\frac {1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}$ nicht gibt. Das Ideal

${}(2,1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} })=(1-{\sqrt {3}}{\mathrm {i} },1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} })\,$

ist in ${}R$ kein Hauptideal.