Quadratische Körpererweiterung/Diskriminante/Beispiel

Wir betrachten eine quadratische Gleichung  $X^2+pX+q=0$  und (unter der Voraussetzung, dass das Polynom irreduzibel ist) die zugehörige quadratische Körpererweiterung  $K\subseteq L=K[X]/(X^2+pX+q)$.  Wir bestimmen die Diskriminante dieser Erweiterung zur Basis $1,x$. Wir müssen also die Spuren der Elemente $1,x,x^2=-px-q$ bestimmen. Die Matrizen dieser Elemente sind

$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0& -q\\ 1& -p\end{array}\right)\text{ und }\left(\begin{array}{cc}-q& pq\\ -p& p^2-q\end{array}\right)$

und ihre Spuren sind $2,-p$ und $p^2-2q$. Somit ist die Diskriminante gleich

$\mathrm{△}(1,x)=det\left(\begin{array}{cc}2& -p\\ -p& p^2-2q\end{array}\right)=2(p^2-2q)-p^2=p^2-4q.$