Quadratische Körpererweiterung/Diskriminante/Beispiel

Wir betrachten eine quadratische Gleichung ${}X^{2}+pX+q=0$ und (unter der Voraussetzung, dass das Polynom irreduzibel ist) die zugehörige quadratische Körpererweiterung ${}K\subseteq L=K[X]/{\left(X^{2}+pX+q\right)}$. Wir bestimmen die Diskriminante dieser Erweiterung zur Basis ${}1,x$. Wir müssen also die Spuren der Elemente ${}1,x,x^{2}=-px-q$ bestimmen. Die Matrizen dieser Elemente sind

${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,\,{\begin{pmatrix}0&-q\\1&-p\end{pmatrix}}\,{\text{ und }}\,{\begin{pmatrix}-q&pq\\-p&p^{2}-q\end{pmatrix}}$

und ihre Spuren sind ${}2,\,-p$ und ${}p^{2}-2q$. Somit ist die Diskriminante gleich

${}\triangle (1,x)=\det {\begin{pmatrix}2&-p\\-p&p^{2}-2q\end{pmatrix}}=2{\left(p^{2}-2q\right)}-p^{2}=p^{2}-4q\,.$