Beweis
Wie dem Beweis zur Euklidizität der Gaußschen Zahlen zu entnehmen ist, ist für einen Unterring der komplexen Zahlen der Form
(mit
)
die Norm eine euklidische Funktion genau dann, wenn sich zu jedem Element
ein Element
findet, das zu
einen Abstand kleiner als
besitzt. Es sei zunächst
.
Das Element
hat den minimalen Abstand zu den vier Gitterpunkten
, und dieser ist stets
-

Für den Ring der Eisenstein-Zahlen
sind die Gittermaschen gleichmäßige Dreiecke mit Seitenlänge eins, und jede komplexe Zahl hat zu mindestens einem Gitterpunkt einen Abstand
.