Beweis
Wie dem Beweis zur Euklidizität der Gaußschen Zahlen zu entnehmen ist, ist für einen Unterring der komplexen Zahlen der Form
(mit
)
die Norm eine euklidische Funktion genau dann, wenn sich zu jedem Element
ein Element
findet, das zu
einen Abstand kleiner als
besitzt. Es sei zunächst
. Das Element
hat den minimalen Abstand zu den vier Gitterpunkten
, und dieser ist stets
-
![{\displaystyle {}\vert {\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}\vert ={\sqrt {{\frac {1}{4}}+{\frac {3}{4}}}}=1\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c58569f36ff87ffc5a6bdd850a22a8dea3a4179)
Für den Ring der Eisenstein-Zahlen
sind die Gittermaschen gleichmäßige Dreiecke mit Seitenlänge eins, und jede komplexe Zahl hat zu mindestens einem Gitterpunkt einen Abstand
.