Quadratischer Zahlbereich/D ist 1 mod 4/(1 - sqrt(D))/2 erfüllt Ganzheitsgleichung/Kein Zwischenring/Aufgabe/Lösung

Wir behaupten, dass ${}X^{2}-X-{\frac {D-1}{4}}$ eine Ganzheitsgleichung ist. In der Tat, es ist

${}{\left({\frac {1-{\sqrt {D}}}{2}}\right)}^{2}-{\frac {1-{\sqrt {D}}}{2}}-{\frac {D-1}{4}}={\frac {1-2{\sqrt {D}}+D-2+2{\sqrt {D}}-D+1}{4}}=0\,.$

Wir betrachten nun die Ringerweiterung ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]\subset A_{D}$. Es ist ${}u=1$ und ${}v={\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}$ eine ${}\mathbb {Z}$-Basis rechts. In dieser Basis drückt sich die ${}\mathbb {Z}$-Basis links, also ${}1$ und ${}{\sqrt {D}}$ aus als ${}u$ und ${}2v-u$. Damit ist die Restklassengruppe

${}A_{D}/\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]\cong \mathbb {Z} ^{2}/((1,0),(-1,2))\cong \mathbb {Z} ^{2}/((1,0),(0,2))\cong \mathbb {Z} /(2)\,.$

Daher gilt sogar für eine beliebige Gruppe ${}G$ zwischen ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]$ und ${}A_{D}$, dass ${}G/\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]$ die Nullgruppe oder ${}\mathbb {Z} /(2)$ ist. Damit ist ${}G=\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]$ oder ${}G=A_{D}$.

Zur gelösten Aufgabe