Quadratischer Zahlbereich/Gaußsche Zahlen/Einführung/Textabschnitt

Gaußsche Zahlen als Gitterpunkte in der komplexen Zahlenebene

Eine Gaußsche Zahl ${}z$ ist durch ${}z=a+b{\mathrm {i} }$ gegeben, wobei ${}a$ und ${}b$ ganze Zahlen sind. Die Menge dieser Zahlen wird mit ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ bezeichnet. Die Gaußschen Zahlen sind die Gitterpunkte, d.h. die Punkte mit ganzzahligen Koordinaten, in der komplexen Ebene. Sie bilden mit komponentenweiser Addition und mit der induzierten komplexen Multiplikation einen kommutativen Ring.

Eine euklidische Funktion ist durch die Norm ${}N$ gegeben, die durch ${}N(a+b{\mathrm {i} }):=a^{2}+b^{2}$ definiert ist. Man kann auch ${}N(z)=z\cdot {\overline {z}}$ schreiben, wobei ${}{\overline {z}}$ die komplexe Konjugation bezeichnet. Die Norm ist das Quadrat des komplexen Absolutbetrages und wie dieser multiplikativ, also ${}N(zw)=N(z)N(w)$.

Mit der Norm lassen sich auch leicht die Einheiten von ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ bestimmen: ist ${}wz=1$, so ist auch ${}N(zw)=N(z)N(w)=1$, also ${}N(z)=1$. Damit sind genau die Elemente ${}\{1,-1,{\mathrm {i} },-{\mathrm {i} }\}$ diejenigen Gaußschen Zahlen, die Einheiten sind.