Quadratischer Zahlbereich/Primzahl nicht träge/Charakterisierungen für reduzibel mit Norm/Aufgabe

Es sei ${}D\neq 0,1$ quadratfrei und sei ${}A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Es sei ${}p$ eine Primzahl, die in ${}A_{D}$ nicht träge sei. Beweise die Äquivalenz folgender Aussagen (man darf benutzen, dass der Betrag von ${}N(z)$ mit der Anzahl des Restklassenringes ${}A_{D}/(z)$ übereinstimmt).

1. ${}p$ besitzt eine Primfaktorzerlegung in ${}A_{D}$.
2. ${}p$ ist nicht irreduzibel (also zerlegbar) in ${}A_{D}$.
3. ${}p$ oder ${}-p$ ist die Norm eines Elementes aus ${}A_{D}$.
4. ${}p$ oder ${}-p$ ist die Norm eines Primelementes aus ${}A_{D}$.

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