Quadratischer Zahlbereich/Wurzel 7/5-3 Wurzel 7/Hauptdivisor/Aufgabe/Lösung

Es ist ${}R=\mathbb {Z} [X]/(X^{2}-7)$ und somit ${}R/(5-3{\sqrt {7}})=\mathbb {Z} [X]/(X^{2}-7,5-3X)$. Wegen

${}{\begin{aligned}N(5-3{\sqrt {7}})&=(5-3{\sqrt {7}})(5+3{\sqrt {7}})\\&=25-9\cdot 7\\&=25-63\\&=-38\\&=-2\cdot 19\end{aligned}}$

besitzt dieser Restklassenring ${}38$ Elemente. Damit ist der Restklassenring isomorph zu ${}\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(19)$ und es gibt oberhalb von ${}5-3{\sqrt {7}}$ zwei Primideale, wobei das eine die ${}2$ und das andere die ${}19$ enthält. Wegen

${}\mathbb {Z} [X]/(X^{2}-7,5-3X,2)=\mathbb {Z} /(2)[X]/(X^{2}-1,1-X)=\mathbb {Z} /(2)\,$

ist ${}{\mathfrak {p}}=(5-3{\sqrt {7}},2)$ ein Primideal und wegen

${}\mathbb {Z} [X]/(X^{2}-7,5-3X,19)=\mathbb {Z} /(19)[X]/(X^{2}-7,5-3X)=\mathbb {Z} /(19)\,,$

wobei die letzte Gleichung darauf beruht, dass modulo ${}19$ aus ${}5-3X=0$ direkt ${}X=8$ folgt, ist ${}{\mathfrak {q}}=(5-3{\sqrt {7}},19)$

ein Primideal. Der Hauptdivisor zu ${}5-3{\sqrt {7}}$ ist demnach ${}{\mathfrak {p}}+{\mathfrak {q}}$, wegen der Reduziertheit des Restklassenringes sind die Koeffizienten gleich ${}1$.

Zur gelösten Aufgabe