Quadratischer Zahlbereich/Wurzel aus 3/Einheiten/Beispiel

Wir suchen in ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {3}}]$ gemäß Bemerkung nach der Fundamentaleinheit, nach Fakt müssen wir nur ${}a+b{\sqrt {3}}$ mit ganzzahligen ${}a,b\geq 1$ überprüfen, ob

${}N(a+b{\sqrt {3}})=a^{2}-3b^{2}=\pm 1\,$

gilt. Für ${}a=1$ gibt es keine Lösung, und bei ${}a=2$ ist mit ${}b=1$ eine Lösung gefunden. Somit ist ${}2+{\sqrt {3}}$ die Fundamentaleinheit. Die anderen Einheiten oberhalb von ${}1$ sind ${}{\left(2+{\sqrt {3}}\right)}^{2}=7+4{\sqrt {3}}$, ${}{\left(2+{\sqrt {3}}\right)}^{3}=26+15{\sqrt {3}}$, u.s.w.