Es ist
-
![{\displaystyle {}f(0)=2>1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a333f828f522abd7101e4df384fe23cb7c9e224c)
und
-
![{\displaystyle {}f(1)=0<1\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/950cbaf915e3bf672782d8907bd5b4e16147bbf9)
deshalb muss es nach dem Zwischenwertsatz eine Stelle geben, wo
den Wert
annimmt. Es ist
-
![{\displaystyle {}f\left({\frac {1}{2}}\right)=\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}-3\cdot {\frac {1}{2}}+2={\frac {3}{4}}<1\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17a6a7a6466b949eb24fd062b6fc278452affb86)
Deshalb liegt die gesuchte Stelle in
. Es ist
-
![{\displaystyle {}f\left({\frac {1}{4}}\right)=\left({\frac {1}{4}}\right)^{2}-3\cdot {\frac {1}{4}}+2={\frac {21}{16}}>1\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db78a6bf342f0c0caa19af60f44d3366a3e13d41)
Deshalb liegt die gesuchte Stelle in
. Es ist
-
![{\displaystyle {}f\left({\frac {3}{8}}\right)=\left({\frac {3}{8}}\right)^{2}-3\cdot {\frac {3}{8}}+2={\frac {65}{64}}>1\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/616a892184f4e561b71140a1ff5b4e3aef471ba4)
Deshalb liegt die gesuchte Stelle in
.
Die Gleichsetzung der beiden Funktionen führt auf
-
![{\displaystyle {}x^{2}-5x+1=0\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f55a62c34f3aec78b413d4169f1ee45eeb0a692)
was auf
-
![{\displaystyle {}x_{1},x_{2}={\frac {5\pm {\sqrt {25-4}}}{2}}={\frac {5\pm {\sqrt {21}}}{2}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad6504e01d32f904a37589463a0517dfad6a7478)
für die
-Koordinate der beiden Schnittpunkte führt. Im Folgenden sei
der kleinere Wert. Der in Frage stehende Flächeninhalt ergibt sich, indem man von dem Flächeninhalt des durch
, der
-Achse und die vertikalen Achsen durch
und
begrenzten Vierecks
die Flächeninhalte unterhalb von
zwischen
und
und zwischen
und
abzieht und den Flächeninhalt der Fläche oberhalb von
zwischen
und
dazuaddiert. Der Flächeninhalt des Vierecks ist
-
![{\displaystyle {}(x_{2}-x_{1}){\frac {g(x_{1})+g(x_{2})}{2}}={\frac {5+{\sqrt {21}}-5+{\sqrt {21}}}{2}}\cdot {\frac {12}{2}}=6{\sqrt {21}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e750c85bd0600a835829bdf6d9d6cd24e040cca)
Eine Stammfunktion zu
ist
-
![{\displaystyle {}F(x)={\frac {1}{3}}x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+2x\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e31586a4ce59f767cb348a238b7ba62117fe6640)
die relevanten Werte sind
-
![{\displaystyle {}F(1)={\frac {1}{3}}-{\frac {3}{2}}+2={\frac {5}{6}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dce7c7f89184283f9a46077a08aa990a017e30c)
-
![{\displaystyle {}F(2)={\frac {8}{3}}-6+4={\frac {2}{3}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a889cc5109dd94a8f88db78ea4f8bd8f47b1064)
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}F(x_{1})&={\frac {1}{3}}\left({\frac {5-{\sqrt {21}}}{2}}\right)^{3}-{\frac {3}{2}}\left({\frac {5-{\sqrt {21}}}{2}}\right)^{2}+2\left({\frac {5-{\sqrt {21}}}{2}}\right)\\&={\frac {1}{3}}\left({\frac {125-75{\sqrt {21}}+15\cdot 21-21{\sqrt {21}}}{8}}\right)-{\frac {3}{2}}\left({\frac {25-10{\sqrt {21}}+21}{4}}\right)+5-{\sqrt {21}}\\&={\frac {1}{3}}\left({\frac {440-96{\sqrt {21}}}{8}}\right)-{\frac {3}{2}}\left({\frac {46-10{\sqrt {21}}}{4}}\right)+5-{\sqrt {21}}\\&={\frac {1}{3}}{\left(55-12{\sqrt {21}}\right)}-3\left({\frac {23-5{\sqrt {21}}}{4}}\right)+5-{\sqrt {21}}\\&={\frac {55}{3}}-{\frac {69}{4}}+5+{\left(-4+{\frac {15}{4}}-1\right)}{\sqrt {21}}\\&={\frac {73}{12}}-{\frac {5}{4}}{\sqrt {21}},\,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd6098fe6bc18c5e72b91883e3f32a9d27b25b43)
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}F(x_{2})&={\frac {1}{3}}\left({\frac {5+{\sqrt {21}}}{2}}\right)^{3}-{\frac {3}{2}}\left({\frac {5+{\sqrt {21}}}{2}}\right)^{2}+2\left({\frac {5+{\sqrt {21}}}{2}}\right)\\&={\frac {1}{3}}\left({\frac {125+75{\sqrt {21}}+15\cdot 21+21{\sqrt {21}}}{8}}\right)-{\frac {3}{2}}\left({\frac {25+10{\sqrt {21}}+21}{4}}\right)+5+{\sqrt {21}}\\&={\frac {1}{3}}\left({\frac {440+96{\sqrt {21}}}{8}}\right)-{\frac {3}{2}}\left({\frac {46+10{\sqrt {21}}}{4}}\right)+5+{\sqrt {21}}\\&={\frac {1}{3}}{\left(55+12{\sqrt {21}}\right)}-3\left({\frac {23+5{\sqrt {21}}}{4}}\right)+5+{\sqrt {21}}\\&={\frac {55}{3}}-{\frac {69}{4}}+5+{\left(4-{\frac {15}{4}}+1\right)}{\sqrt {21}}\\&={\frac {73}{12}}+{\frac {5}{4}}{\sqrt {21}}.\,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da6406efd33bd0961afabc4c596b7c7b692c3e87)
Der gesuchte Flächeninhalt ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}A&=6{\sqrt {21}}-(F(1)-F(x_{1}))+\vert {F(2)-F(1)}\vert -(F(x_{2})-F(2))\\&=6{\sqrt {21}}-F(1)+F(x_{1})+F(1)-F(2)-F(x_{2})+F(2)\\&=6{\sqrt {21}}+F(x_{1})-F(x_{2})\\&=6{\sqrt {21}}+{\frac {73}{12}}-{\frac {5}{4}}{\sqrt {21}}-{\frac {73}{12}}-{\frac {5}{4}}{\sqrt {21}}\\&={\frac {7}{2}}{\sqrt {21}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7424af83d04262b173d514b601cd3725e1328ae1)