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Quadratisches Polynom/Kurvendiskussion/Wertapproximation/Flächeninhalt/Aufgabe/Lösung

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  1. Es sind und die Nullstellen von .
  2. Es ist

    mit der einzigen Nullstelle bei

    Dort liegt das globale isolierte Minimum mit dem Wert

    vor.

  3. Es ist

    und

    deshalb muss es nach dem Zwischenwertsatz eine Stelle geben, wo den Wert annimmt. Es ist

    Deshalb liegt die gesuchte Stelle in . Es ist

    Deshalb liegt die gesuchte Stelle in . Es ist

    Deshalb liegt die gesuchte Stelle in .

  4. Die Gleichsetzung der beiden Funktionen führt auf

    was auf

    für die -Koordinate der beiden Schnittpunkte führt. Im Folgenden sei der kleinere Wert. Der in Frage stehende Flächeninhalt ergibt sich, indem man von dem Flächeninhalt des durch , der -Achse und die vertikalen Achsen durch und begrenzten Vierecks die Flächeninhalte unterhalb von zwischen und und zwischen und abzieht und den Flächeninhalt der Fläche oberhalb von zwischen und dazuaddiert. Der Flächeninhalt des Vierecks ist

    Eine Stammfunktion zu ist

    die relevanten Werte sind

    Der gesuchte Flächeninhalt ist