Quadratisches Polynom/R/2 Variablen/Linearfrei/Diagonalisiere/2/Aufgabe/Lösung

Der rein-quadratische Term des quadratischen Polynoms wird durch die symmetrische Matrix

$M=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 3& -4\end{array}\right)$

beschrieben. Das charakteristische Polynom dazu ist

$\begin{array}{cc}(X-1)(X+4)-9& =X^2+3X-13\\ & ={(X+\frac{3}{2})}^2-\frac{9}{4}-13\\ & ={(X+\frac{3}{2})}^2-\frac{61}{4}.\end{array}$

Die Eigenwerte sind also

${\lambda }_{1,2}=\frac{\pm \sqrt{61}}{2}-\frac{3}{2}.$

Ein Eigenvektor zu Eigenwert $\frac{\sqrt{61}}{2}-\frac{3}{2}$ ist

$\left(\begin{array}{c}3\\ \frac{\sqrt{61}-5}{2}\end{array}\right)$

und ein Eigenvektor zu Eigenwert $-\frac{\sqrt{61}}{2}-\frac{3}{2}$ ist

$\left(\begin{array}{c}3\\ \frac{-\sqrt{61}-5}{2}\end{array}\right).$

Normierte Eigenvektoren $v_1$ und $v_2$ sind somit $\frac{2}{\sqrt{122-10\sqrt{61}}}\left(\begin{array}{c}3\\ \frac{\sqrt{61}-5}{2}\end{array}\right)$ und $\frac{2}{\sqrt{122+10\sqrt{61}}}\left(\begin{array}{c}3\\ \frac{-\sqrt{61}-5}{2}\end{array}\right)$. Es seien $s,t$ die Koordinatenfunktionen zu dieser neuen Basis. Zwischen den Koordinaten besteht die Beziehung

$\left(\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{2}{\sqrt{122-10\sqrt{61}}}\cdot 3& \frac{2}{\sqrt{122+10\sqrt{61}}}\cdot 3\\ \frac{2}{\sqrt{122-10\sqrt{61}}}\cdot \frac{\sqrt{61}-5}{2}& \frac{2}{\sqrt{122+10\sqrt{61}}}\cdot \frac{-\sqrt{61}-5}{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}s\\ t\end{array}\right),$

wobei wir diese Übergangsmatrix $B$ nennen. Somit ist

$\begin{array}{cc}{X}^2-4Y^2+6XY+2& ={\left(\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right)}^{\text{tr}}M\left(\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right)+2\\ & ={\left(\begin{array}{c}s\\ t\end{array}\right)}^{\text{tr}}{B}^{\text{tr}}MB\left(\begin{array}{c}s\\ t\end{array}\right)+2\\ & =\left(\frac{\sqrt{61}-3}{2}\right)s^2+\left(\frac{-\sqrt{61}-3}{2}\right)t^2+2.\end{array}$

Zur gelösten Aufgabe