Quadratisches Polynom/R/2 Variablen/Reine Form/Liste/Beispiel

Wir erstellen eine Liste von reellen quadratischen Polynomen in den beiden Variablen $X$ und $Y$ mit den zugehörigen Nullstellenmengen, wobei wir die Koeffizienten auf $0,1,-1$ beschränken. Wenn nur die eine Variable $X$ vorkommt, so hat man im Wesentlichen die drei folgenden Möglichkeiten.

• $X^2$ $$ $$ Das Nullstellengebilde ist eine „verdoppelte Gerade“.
• $X^2-1$ $$ $$ Das bedeutet
 $X=\pm 1$,  das Nullstellengebilde besteht also aus zwei parallelen Geraden.
• $X^2+1$ $$ $$ Das Nullstellengebilde ist leer.

In diesen Fällen (wo die zweite Variable $Y$ nicht explizit vorkommt) ist das Nullstellengebilde einfach die Produktmenge eines nulldimensionalen Nullstellengebildes (endlich viele Punkte) und einer Geraden.

Nun betrachten wir die Polynome, wo beide Variablen vorkommen.

• $Y^2-X$ $$ $$ Das Nullstellengebilde ist eine Parabel.
• $Y^2-X^2$ $$ $$ Das bedeutet
 $(Y-X)(Y+X)=0$,  das Nullstellengebilde besteht also aus zwei sich kreuzenden Geraden.
• $Y^2+X^2$ $$ $$ Die einzige Lösung ist der Punkt $(0,0)$, das Nullstellengebilde ist also ein einziger Punkt.
• $Y^2-X^2-1$ $$ $$ Das bedeutet
 $(Y-X)(Y+X)=1$,  das Nullstellengebilde ist also eine Hyperbel.
• $Y^2+X^2-1$ $$ $$ Das Nullstellengebilde ist der Einheitskreis.
• $Y^2+X^2+1$ $$ $$ Das ist wieder leer.