Quadratisches Polynom/R/Minimale Maximumsnorm/-1 bis 1/Aufgabe/Lösung

1. Skizze.
2. Das Minimum wird bei

   ${}x=0\,$

   mit dem Wert ${}-{\frac {1}{2}}$ und das Maximum wird an den Rändern

   ${}x=\pm 1\,$

   mit dem Wert ${}{\frac {1}{2}}$ angenommen, das Maximum des Betrages auf dem Intervall ist also ${}{\frac {1}{2}}$.

3. Es sei

   ${}g=x^{2}+ax+b\,$

   gegeben, das die Bedingung

   ${}{\max {\left(\vert {g(x)}\vert ,-1\leq x\leq 1\right)}}={\frac {1}{2}}\,$

   erfülle. Es ist ${}g=f$ zu zeigen. Aus

   ${}g(0)=b\,$

   folgt

   ${}\vert {b}\vert \leq {\frac {1}{2}}\,,$

   woraus sich

   ${}1+b\geq {\frac {1}{2}}\,$

   ergibt. An den Intervallrändern ergeben sich die Bedingungen

   ${}\vert {1+a+b}\vert \leq {\frac {1}{2}}\,$

   und

   ${}\vert {1-a+b}\vert \leq {\frac {1}{2}}\,.$

   Daraus folgt zuerst

   ${}a=0\,,$

   daraus

   ${}1+b={\frac {1}{2}}\,$

   und somit

   ${}b=-{\frac {1}{2}}\,.$

Zur gelösten Aufgabe