Quadratisches Polynom/R/Variablenwechsel/Reine Form/Verzerrung/Normierte Standardform/Bemerkung

Eine quadratische Form in Standardgestalt

$\sum _{1\leq i\leq k}r_{i}U_{i}^{2}+s\,\,{\text{ bzw. }}\,\,\sum _{1\leq i\leq k}r_{i}U_{i}^{2}+sU_{k+1},$

wie sie nach Fakt stets erreicht werden kann, kann weiter vereinfacht werden, wobei man allerdings Verzerrungen in Kauf nehmen muss. In den neuen Koordinaten

${}Z_{i}={\sqrt {\vert {r_{i}}\vert }}U_{i}\,$

bzw.

${}U_{i}={\frac {1}{\sqrt {\vert {r_{i}}\vert }}}Z_{i}\,$

für ${}i=1,\ldots ,k$ besitzt die quadratische Form eine Darstellung der Form

$\sum _{1\leq i\leq k}\pm Z_{i}^{2}+s\,\,{\text{ bzw. }}\,\,\sum _{1\leq i\leq k}\pm Z_{i}^{2}+sZ_{k+1},$

wobei die Vorfaktoren jetzt gleich ${}1$ oder gleich ${}-1$ sind. Man spricht von einer normierten Standardgestalt der quadratischen Form. Durch Vertauschen der Reihenfolge kann man erreichen, dass die ersten Variablen den Vorfaktor ${}1$ und die hinteren den Vorfaktor ${}-1$ besitzen. Bei diesem Übergang erfäht das Nullstellengebilde Verzerrungen, aus einer Ellipse wird beispielsweise ein Kreis gemacht oder eine Parabel wird gestaucht. Da sich das Nullstellengebilde nicht ändert, wenn man die Form mit ${}-1$ multipliziert, kann man davon ausgehen, dass die Anzahl des Vorfaktors ${}1$ mindestens so groß ist wie die Anzahl des Vorfaktors ${}-1$.