Quadratisches Polynom/Tangente/Durchschnitt/Aufgabe/Lösung

Die Tangente zu ${}x_{0}\in {\mathbb {K} }$ wird durch

${}t(x)=f'(x_{0})x+f(x_{0})-f'(x_{0})x_{0}=f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})\,$

beschrieben. Der Punkt ${}(x_{0},f(x_{0}))$ gehört zum Graphen und zur Tangente; wir müssen zeigen, dass kein weiterer Punkt zum Durchschnitt gehört. Nehmen wir an, es gäbe einen weiteren Punkt ${}x_{1}\neq x_{0}$ mit ${}f(x_{1})=t(x_{1})$. Dies bedeutet

${}ax_{1}^{2}+bx_{1}+c=(2ax_{0}+b)(x_{1}-x_{0})+ax_{0}^{2}+bx_{0}+c\,.$

Dies führt auf

${}a(x_{1}^{2}-x_{0}^{2})+b(x_{1}-x_{0})=(2ax_{0}+b)(x_{1}-x_{0})\,.$

Division durch ${}x_{1}-x_{0}\neq 0$ ergibt

${}a(x_{1}+x_{0})+b=2ax_{0}+b\,$

und daraus erhält man

${}ax_{1}=ax_{0}\,.$

Wegen ${}a\neq 0$ folgt der Widerspruch

${}x_{1}=x_{0}\,.$

Zur gelösten Aufgabe