Quadratisches Polynom/Tangential an Diagonale und Gegendiagonale/Verlauf/Aufgabe/Lösung

a) Das gesuchte Polynom sei

$f(x)=a{x}^2+bx+c.$

Dann ist

$f^{\prime }(x)=2ax+b.$

Die Bedingung, dass der Graph zu $f$ die Diagonale und die Gegendiagonale bei  $y=1$  schneidet, bedeutet

$a+b+c=1\text{ und }a-b+c=1.$

Die Steigung der Diagonale ist $1$. Da der Schnitt tangential sein soll, bedeutet dies

$2a+b=1.$

Die Steigung der Gegendiagonale ist $-1$. Dies bedeutet somit

$-2a+b=-1.$

Die Summe der beiden letzten Gleichungen ergibt direkt

$b=0$

und somit

$a=\frac{1}{2}.$

Daraus ergibt sich mit der ersten (oder der zweiten) Gleichung

$c=\frac{1}{2}.$

Das gesuchte Polynom ist also

$f(x)=\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}.$

b) Für $x\ge 0$ ist zu zeigen, dass $P(x)=\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}\ge x$ und für $x\le 0$ ist zu zeigen, dass $P(x)\ge -x$ ist. Im ersten Fall ist

$P(x)-x=\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}-x=\frac{1}{2}(x^2-2x+1)=\frac{1}{2}{(x-1)}^2\ge 0$

und im zweiten Fall ist

$P(x)-x=\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}+x=\frac{1}{2}(x^2+2x+1)=\frac{1}{2}{(x+1)}^2\ge 0.$

Zur gelösten Aufgabe