Quadratisches Reziprozitätsgesetz/10 mod 13/Beispiel

Man möchte entscheiden, ob die Gleichung

${}x^{2}=10\mod 13\,$

eine Lösung besitzt. Dazu berechnet man

${}\left({\frac {10}{13}}\right)=\left({\frac {2}{13}}\right)\left({\frac {5}{13}}\right)\,.$

Der erste Faktor

$\left({\frac {2}{13}}\right)$

lässt sich mit Hilfe des zweiten Ergänzungssatzes zu ${}-1$ bestimmen, weil ${}13=5\mod 8$ und dies das Vorzeichen ${}-1$ ergibt.

Um den zweiten Faktor zu berechnen, wendet man das Reziprozitätsgesetz an:

${}\left({\frac {5}{13}}\right)=+\left({\frac {13}{5}}\right)\,,$

weil ${}5\mod 4=1$ gilt (der Rest ${}13\mod 4$ braucht gar nicht mehr berechnet zu werden, da es ausreicht, dass hier ${}5$ oder ${}13$ modulo ${}4$ den Rest ${}1$ lässt, damit das Vorzeichen ${}+$ ist). Jetzt nutzt man aus, dass ${}13=3\mod 5$ ist. Man schreibt:

${}\left({\frac {13}{5}}\right)=\left({\frac {3}{5}}\right)\,.$

Wiederum wendet man hier das Quadratische Reziprozitätsgesetz an: Es ist

${}\left({\frac {3}{5}}\right)=\left({\frac {5}{3}}\right)=\left({\frac {2}{3}}\right)=-1\,,$

da ${}5\mod 4=1$ ist und da ${}2=-1$ kein Quadrat modulo ${}3$ ist.

Setzt man nun beide Faktoren zusammen, so ergibt sich folgendes Resultat:

${}\left({\frac {10}{13}}\right)=\left({\frac {2}{13}}\right)\left({\frac {5}{13}}\right)={\left(-1\right)}\cdot {\left(-1\right)}=1\,.$

Damit weiß man, dass die obige Gleichung eine Lösung besitzt (die beiden Lösungen lauten ${}6$ und ${}7$). Auf dieses Ergebnis kommt man leider nur durch Probieren. Hat man aber eine Lösung, z.B. die ${}6$, so berechnet man die zweite Lösung, indem man das additive Inverse im Körper ${}\mathbb {Z} /(13)$ bestimmt (${}13-6=7$).