Man möchte entscheiden, ob die Gleichung
-

eine Lösung besitzt. Dazu berechnet man
-

Der erste Faktor
-
lässt sich mit Hilfe
des zweiten Ergänzungssatzes
zu
bestimmen, weil
und dies das Vorzeichen
ergibt.
Um den zweiten Faktor zu berechnen, wendet man das Reziprozitätsgesetz an:
-

weil
gilt
(der Rest
braucht gar nicht mehr berechnet zu werden, da es ausreicht, dass hier
oder
modulo
den Rest
lässt, damit das Vorzeichen
ist).
Jetzt nutzt man aus, dass
ist. Man schreibt:
-

Wiederum wendet man hier das Quadratische Reziprozitätsgesetz an: Es ist
-

da
ist und da
kein Quadrat modulo
ist.
Setzt man nun beide Faktoren zusammen, so ergibt sich folgendes Resultat:
-

Damit weiß man, dass die obige Gleichung eine Lösung besitzt
(die beiden Lösungen lauten
und
).
Auf dieses Ergebnis kommt man leider nur durch Probieren. Hat man aber eine Lösung, z.B. die
, so berechnet man die zweite Lösung, indem man das additive Inverse im Körper
bestimmt
(
).