Quadratisches Reziprozitätsgesetz/10 mod 13/Beispiel

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Man möchte entscheiden, ob die Gleichung

eine Lösung besitzt. Dazu berechnet man

Der erste Faktor

lässt sich mit Hilfe des zweiten Ergänzungssatzes zu bestimmen, weil und ergibt das Vorzeichen .

Um den zweiten Faktor zu berechnen, wendet man das Reziprozitätsgesetz an:

weil gilt (der Rest braucht gar nicht mehr berechnet zu werden, da es ausreicht, dass hier oder modulo den Rest lässt, damit das Vorzeichen ist). Jetzt nutzt man aus, dass ist. Man schreibt:

Wiederum wendet man hier das Quadratische Reziprozitätsgesetz an: Es ist

da ist und da kein Quadrat modulo ist.

Setzt man nun beide Faktoren zusammen, so ergibt sich folgendes Resultat:

Damit weiß man, dass die obige Gleichung eine Lösung besitzt (die beiden Lösungen lauten und .). Auf dieses Ergebnis kommt man leider nur durch Probieren. Hat man aber eine Lösung, z.B. die , so berechnet man die zweite Lösung, indem man das additive Inverse im Körper bestimmt ()