Quadratisches Reziprozitätsgesetz/Verschiedene Reste/Beispiel

Betrachten wir die beiden Primzahlen ${}11$ und ${}19$, die beide modulo ${}4$ den Rest ${}3$ haben. Es ist ${}19=8$ modulo ${}11$ und dies ist nach Beispiel kein Quadratrest. Gemäß dem Reziprozitätsgesetz muss also ${}11$ modulo ${}19$ ein quadratischer Rest sein. In der Tat ist

${}7^{2}=49=11\mod 19\,.$

Betrachtet man hingegen die Primzahlen ${}11$ und ${}13$, so hat ${}11$ modulo ${}4$ den Rest ${}3$ und ${}13$ hat modulo ${}4$ den Rest ${}1$. Es ist ${}13=2\mod 11$ ein nichtquadratischer Rest, und daher ist auch ${}11$ ein nichtquadratischer Rest modulo ${}13$.