Quadratwurzel/2/Irrational/Fakt/Beweis

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen
Beweis

Wir machen die Annahme, dass es eine rationale Zahl gibt, deren Quadrat gleich ist, und führen das zu einem Widerspruch. Sei also angenommen, dass

die Eigenschaft besitzt, dass

ist. Eine rationale Zahl hat die Beschreibung als ein Bruch, wobei Zähler und Nenner ganze Zahlen sind. Die rationale Zahl können wir somit als

ansetzen. Ferner können wir annehmen (dieses Annehmen ist eine Vereinfachung der Situation und hat nichts mit der zum Widerspruch zu führenden Annahme zu tun), dass dieser Bruch gekürzt ist, dass also und keinen echten gemeinsamen Teiler haben. In der Tat brauchen wir lediglich, dass wir annehmen dürfen, dass zumindest eine Zahl, oder ungerade ist (wenn beide gerade sind, so können wir mit kürzen, u.s.w.) Die Eigenschaft

bedeutet ausgeschrieben

Multiplikation mit ergibt die Gleichung

(dies ist eine Gleichung in bzw. sogar in ). Diese Gleichung besagt, dass gerade ist, da ja ein Vielfaches der ist. Daraus ergibt sich aber auch, dass selbst gerade ist, da ja das Quadrat einer ungeraden Zahl wieder ungerade ist. Deshalb können wir den Ansatz

mit einer ganzen Zahl machen. Dies setzen wir in die obige Gleichung ein und erhalten

Wir können mit kürzen und erhalten

Also ist auch und damit selbst gerade. Dies ist ein Widerspruch dazu, dass nicht sowohl als auch gerade sind.

Zur bewiesenen Aussage