Quadratwurzel/Einheitsintervall/Nicht Lipschitz-stetig/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}L\in \mathbb {R} _{+}$, wir zeigen, dass ${}L$ keine Lipschitz-Konstante für ${}f$ ist. Es gibt eine positive reelle Zahl ${}x$ mit

${}{\sqrt {x}}<{\frac {1}{L}}\,,$

da die Quadratwurzelfunktion stetig im Nullpunkt mit dem Wert ${}0$ ist. Daher gilt für die beiden Punkte ${}0$ und ${}x$

${}{\begin{aligned}\vert {{\sqrt {x}}-{\sqrt {0}}}\vert &={\sqrt {x}}\\&={\sqrt {x}}{\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {x}}}\\&={\frac {1}{\sqrt {x}}}x\\&>Lx\\&=L\vert {x-0}\vert ,\end{aligned}}$

also ist ${}L$ keine Lipschitz-Konstante.

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