Quadratwurzel/Entwicklungspunkt 1/Potenzreihenansatz/Aufgabe/Lösung

1. Es ist

   ${}x^{2}=(1+x-1)^{2}=1+2(x-1)+(x-1)^{2}\,,$

   daher ist dies die Taylorreihe zur Quadratfunktion im Entwicklungspunkt ${}1$.

2. Mit

   ${}y=1+2(x-1)+(x-1)^{2}\,$

   ist

   ${}y-1=2(x-1)+(x-1)^{2}=2z+z^{2}\,,$

   wobei wir zur Vereinfachung ${}z=x-1$ gesetzt haben. Die Bedingung

   ${}g(f(x))=x\,$

   lautet somit ausgeschrieben

   ${}{\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}(2z+z^{2})^{k}&=b_{0}+b_{1}(2z+z^{2})+b_{2}(2z+z^{2})^{2}+b_{3}(2z+z^{2})^{3}+b_{4}(2z+z^{2})^{4}+\ldots \\&=x\\&=1+z.\end{aligned}}$

   Daraus können die ${}b_{k}$ sukzessive durch Koeffizientenvergleich bestimmt werden, da in der unendlichen Summe nur endlich viele Terme die Koeffizienten bestimmen. Zunächst ergibt sich

   ${}b_{0}=1\,.$

   Aus (Koeffizient vor ${}z$)

   ${}2b_{1}=1\,$

   ergibt sich

   ${}b_{2}={\frac {1}{2}}\,.$

   Aus (Koeffizient vor ${}z^{2}$)

   ${}b_{1}+4b_{2}=0\,$

   ergibt sich

   ${}b_{2}=-{\frac {1}{8}}\,.$

   Aus (Koeffizient vor ${}z^{3}$)

   ${}4b_{2}+8b_{3}=0\,$

   ergibt sich

   ${}b_{3}={\frac {1}{16}}\,.$

   Aus (Koeffizient vor ${}z^{4}$)

   ${}b_{2}+6b_{3}+16b_{4}=0\,$

   ergibt sich

   ${}b_{4}=-{\frac {1}{64}}\,.$

Zur gelösten Aufgabe