Quadratwurzel aus 5/Dezimalbruchfolge/Beispiel

Wir versuchen nun, die Zahl $\sqrt{5}$ systematisch durch Dezimalbrüche zu approximieren. Wir wissen bereits

$2<\sqrt{5}<3$

(eine solche Abschätzung ergibt nur Sinn in einem angeordneten Körper, in dem es ein Element $\sqrt{5}$ gibt, die Grenzen links und rechts gehören aber jedenfalls zu $\mathbb{Q}$). Was ist die beste Approximation mit einem Dezimalbruch mit $10$ im Nenner? Durch etwas Probieren erhält man

$\frac{22}{10}<\sqrt{5}<\frac{23}{10}.$

Entsprechend erhält man für den Nenner $10^2$ die beste Approximation

$\frac{223}{100}<\sqrt{5}<\frac{224}{100},$

für den Nenner $10^3$ erhält man

$\frac{2236}{1000}<\sqrt{5}<\frac{2237}{1000},$

usw. Wenn man die vorhergehende beste Approximation um eine Zehnerpotenz verbessern möchte, so muss man maximal vier nächste Ziffern durchprobieren, man ergänzt die bisherige untere Ziffernfolge um eine $5$ usw. Die ersten approximierenden Dezimalbrüche von unten sind

$2,\frac{22}{10},\frac{223}{100},\frac{2236}{1000},\frac{22360}{10000},\frac{223606}{100000},\frac{2236067}{1000000},\dots .$