Quadratwurzel aus 5/Dezimalbruchfolge/Beispiel

Wir versuchen nun, die Zahl ${}{\sqrt {5}}$ systematisch durch Dezimalbrüche zu approximieren. Wir wissen bereits

${}2<{\sqrt {5}}<3\,$

(eine solche Abschätzung ergibt nur Sinn in einem angeordneten Körper, in dem es ein Element ${}{\sqrt {5}}$ gibt, die Grenzen links und rechts gehören aber jedenfalls zu ${}\mathbb {Q}$). Was ist die beste Approximation mit einem Dezimalbruch mit ${}10$ im Nenner? Durch etwas Probieren erhält man

${}{\frac {22}{10}}<{\sqrt {5}}<{\frac {23}{10}}\,.$

Entsprechend erhält man für den Nenner ${}10^{2}$ die beste Approximation

${}{\frac {223}{100}}<{\sqrt {5}}<{\frac {224}{100}}\,,$

für den Nenner ${}10^{3}$ erhält man

${}{\frac {2236}{1000}}<{\sqrt {5}}<{\frac {2237}{1000}}\,,$

u.s.w. Wenn man die vorhergehende beste Approximation um eine Zehnerpotenz verbessern möchte, so muss man maximal vier nächste Ziffern durchprobieren, man ergänzt die bisherige untere Ziffernfolge um eine ${}5$ u.s.w. Die ersten approximierenden Dezimalbrüche von unten sind

$2,\,{\frac {22}{10}},\,{\frac {223}{100}},\,{\frac {2236}{1000}},\,{\frac {22360}{10000}},\,{\frac {223606}{100000}},\,{\frac {2236067}{1000000}},\ldots .$