Quadratwurzel aus n/Sinnvolle Strecke/Theodorus/Bemerkung

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Die Quadratwurzel aus tritt als Länge der Diagonalen in einem Quadrat mit Seitenlänge auf und ist von daher sicher eine sinnvolle Streckenlänge. Wie sieht es mit den anderen Quadratwurzeln zu natürlichen Zahlen aus? Wenn man die Diagonale im Quadrat mit Seitenlänge betrachtet, so besitzt die Diagonale die Seitenlänge . Diese Zahl entsteht also durch eine einfache arithmetische Operation aus den bekannten natürlichen Zahlen und der . Wenn man Rechtecke mit ganzzahligen Seitenlängen betrachtet, so erhält man als Diagonallängen beispielsweise (Seitenlängen und ), (Seitenlängen und ), (Seitenlängen und ), u.s.w. Man kann aber durch eine einfach geometrische Konstruktion induktiv zeigen, dass jede Quadratwurzel aus einer natürlichen Zahl als Strecke auftritt. Dazu startet man mit der Strecke und macht daraus die Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen andere Kathete die Seitenlänge besitzt. Die Hypotenuse dieses Dreiecks hat dann die Länge

So kann man aus jedem auch die Länge erhalten. Diese Prozedur wird in der Spirale von Theodorus veranschaulicht.