Quasiaffine Varietät/Globale algebraische Funktion/Ist Morphismus nach affiner Geraden/Fakt/Beweis

Beweis

Sei ${}U\subseteq K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$. Es sei ${}V=D(s)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{1}$ eine offene Teilmenge und ${}W=f^{-1}(V)\subseteq U$ das Urbild davon. Sei

${}q={\frac {r}{s^{n}}}\in \Gamma (V,{\mathcal {O}})=K[T]_{s}\,$

eine algebraische Funktion auf ${}V$. Wir müssen zeigen, dass die Verknüpfung ${}q\circ f$ eine algebraische Funkion auf ${}W$ ist. Es sei dazu ${}P\in W$ und sei ${}f=G/H$ eine Beschreibung der nach Voraussetzung algebraischen Funktion ${}f$ in der Umgebung ${}D(H)\ni P$. Dann ist

${}(q\circ f)(P)=q(f(P))={\frac {r}{s^{n}}}{\left({\frac {G}{H}}(P)\right)}={\frac {r(G(P)/H(P))}{(s(G(P)/H(P)))^{n}}}\,.$

Dabei ist der Nenner ${}(s(G(P)/H(P)))^{n}$ nicht ${}0$, da ${}f(P)\in D(s)$ ist, so dass dies eine rationale Darstellung ist.

Zur bewiesenen Aussage