Quasiaffine Varietät/Globale algebraische Funktion/Ist Morphismus nach affiner Geraden/Fakt/Beweis

Beweis

Eine stetige Abbildung liegt aufgrund von Aufgabe vor. Es sei  ${}U\subseteq K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$.  Es sei  ${}V=D(s)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{1}$  eine offene Teilmenge und  ${}W=f^{-1}(V)\subseteq U$  das Urbild davon. Es sei

${}q={\frac {r}{s^{n}}}\in \Gamma (V,{\mathcal {O}})=K[T]_{s}\,$

eine algebraische Funktion auf ${}V$. Wir müssen zeigen, dass die Verknüpfung ${}q\circ f$ eine algebraische Funkion auf ${}W$ ist. Es sei dazu  ${}P\in W$  und sei  ${}f=G/H$  eine Beschreibung der nach Voraussetzung algebraischen Funktion ${}f$ in der Umgebung  ${}D(H)\ni P$.  Dann ist

${}(q\circ f)(P)=q(f(P))={\frac {r}{s^{n}}}{\left({\frac {G}{H}}(P)\right)}={\frac {r(G(P)/H(P))}{(s(G(P)/H(P)))^{n}}}\,.$

Dabei ist der Nenner ${}(s(G(P)/H(P)))^{n}$ nicht ${}0$, da  ${}f(P)\in D(s)$  ist, sodass dies eine rationale Darstellung ist.

Zur bewiesenen Aussage