R^2/Addition und Multiplikation/Umkehreigenschaften/Beispiel

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Wir betrachten die Abbildung

Diese Abbildung ist nicht injektiv, da und auf das gleiche Tupel abgebildet werden, und auch nicht surjektiv, da beispielsweise nicht im Bild liegt. Trotzdem kann man das Gleichungssystem und in gewisser Hinsicht auflösen, also und durch und ausdrücken. Zunächst ist

und damit

oder

Damit ist

und somit

Bis auf die Wahl der Vorzeichen kann man also die Urbilder zu rekonstruieren. Dies zeigt erneut, dass es manchmal mehrere Urbilder und manchmal keine Urbilder gibt (wenn die Wurzel keine reelle Lösung hat). Ein eindeutiges Urbild existiert genau dann, wenn der Radikand gleich ist, also bei

d.h. bei . In einem Punkt verhält sich die Abbildung insofern gut, dass das Bild davon (also ) nur ein Urbild (nämlich ) besitzt. Diese Eigenschaft überträgt sich aber auf keine offene Umgebung des Punktes, da ja und beide auf abgebildet werden. In dieser Hinsicht verhalten sich die anderen Punkte besser. Sei gegeben mit (sagen wir)

Dann besitzt

wie oben ausgerechnet zwei Urbildpunkte, und zwar ist (der Startpunkt legt die Vorzeichen fest)

Diese Formeln kann man unter der Bedingung, dass

als „lokale Umkehrabbildung“ interpretieren, und dies ist in einer offenen Umgebung von erfüllt. Das Bild von unter dieser lokalen Umkehrabbildung ist eine offene Umgebung von , und die Einschränkung führt zu einer bijektiven Abbildung

mit der angegebenen Umkehrabbildung.