R^2/Addition und Multiplikation/Umkehreigenschaften/Beispiel

Wir betrachten die Abbildung

φ : ℝ^{2} ⟶ ℝ^{2}, (x, y) ⟼ (x + y, x y) .

Diese Abbildung ist nicht injektiv, da $(x, y)$ und $(y, x)$ auf das gleiche Tupel abgebildet werden, und auch nicht surjektiv, da beispielsweise $(0, 1)$ nicht im Bild liegt. Trotzdem kann man das Gleichungssystem $u = x + y$ und $v = x y$ in gewisser Hinsicht auflösen, also $x$ und $y$ durch $u$ und $v$ ausdrücken. Zunächst ist

x = u - y

und damit

v = x y = (u - y) y = u y - y^{2}

oder

y^{2} - u y + v = 0 .

Damit ist

y = \pm \sqrt{\frac{u^{2}}{4} - v} + \frac{u}{2}

und somit

x = \mp \sqrt{\frac{u^{2}}{4} - v} + \frac{u}{2} .

Bis auf die Wahl der Vorzeichen kann man also die Urbilder zu $(u, v)$ rekonstruieren. Dies zeigt erneut, dass es manchmal mehrere Urbilder und manchmal keine Urbilder gibt (wenn die Wurzel keine reelle Lösung hat). Ein eindeutiges Urbild existiert genau dann, wenn der Radikand gleich $0$ ist, also bei

0 = \frac{u^{2}}{4} - v = \frac{(x + y)^{2}}{4} - x y = \frac{x^{2} + 2 x y + y^{2} - 4 x y}{4} = \frac{x^{2} - 2 x y + y^{2}}{4} = \frac{(y - x)^{2}}{4},

d.h. bei $x = y$ . In einem Punkt $(x, x)$ verhält sich die Abbildung $φ$ insofern gut, dass das Bild davon (also $(2 x, x^{2})$ ) nur ein Urbild (nämlich $(x, x)$ ) besitzt. Diese Eigenschaft überträgt sich aber auf keine offene Umgebung des Punktes, da ja $(x + h, x - h)$ und $(x - h, x + h)$ beide auf $(2 x, x^{2} - h^{2})$ abgebildet werden. In dieser Hinsicht verhalten sich die anderen Punkte besser. Es sei $(x_{0}, y_{0})$ gegeben mit (sagen wir)

y_{0} > x_{0} .

Dann besitzt

(u_{0}, v_{0}) = (x_{0} + y_{0}, x_{0} y_{0})

wie oben ausgerechnet zwei Urbildpunkte, und zwar ist (der Startpunkt legt die Vorzeichen fest)

(x_{0}, y_{0}) = (- \sqrt{\frac{u_{0}^{2}}{4} - v_{0}} + \frac{u_{0}}{2}, \sqrt{\frac{u_{0}^{2}}{4} - v_{0}} + \frac{u_{0}}{2}) .

Diese Formeln kann man unter der Bedingung, dass

\frac{u^{2}}{4} - v > 0,

als „lokale Umkehrabbildung“ interpretieren, und dies ist in einer offenen Umgebung $U_{2}$ von $(u_{0}, v_{0})$ erfüllt. Das Bild von $U_{2}$ unter dieser lokalen Umkehrabbildung ist eine offene Umgebung $U_{1}$ von $(x_{0}, y_{0})$ , und die Einschränkung führt zu einer bijektiven Abbildung

φ |_{U_{1}} : U_{1} ⟶ U_{2}

mit der angegebenen Umkehrabbildung.