R^2/Addition und Multiplikation/Umkehreigenschaften/Beispiel

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x+y,xy).$

Diese Abbildung ist nicht injektiv, da ${}(x,y)$ und ${}(y,x)$ auf das gleiche Tupel abgebildet werden, und auch nicht surjektiv, da beispielsweise ${}(0,1)$ nicht im Bild liegt. Trotzdem kann man das Gleichungssystem ${}u=x+y$ und ${}v=xy$ in gewisser Hinsicht auflösen, also ${}x$ und ${}y$ durch ${}u$ und ${}v$ ausdrücken. Zunächst ist

${}x=u-y\,$

und damit

${}v=xy=(u-y)y=uy-y^{2}\,$

oder

${}y^{2}-uy+v=0\,.$

Damit ist

${}y=\pm {\sqrt {{\frac {u^{2}}{4}}-v}}+{\frac {u}{2}}\,$

und somit

${}x=\mp {\sqrt {{\frac {u^{2}}{4}}-v}}+{\frac {u}{2}}\,.$

Bis auf die Wahl der Vorzeichen kann man also die Urbilder zu ${}(u,v)$ rekonstruieren. Dies zeigt erneut, dass es manchmal mehrere Urbilder und manchmal keine Urbilder gibt (wenn die Wurzel keine reelle Lösung hat). Ein eindeutiges Urbild existiert genau dann, wenn der Radikand gleich ${}0$ ist, also bei

${}0={\frac {u^{2}}{4}}-v={\frac {(x+y)^{2}}{4}}-xy={\frac {x^{2}+2xy+y^{2}-4xy}{4}}={\frac {x^{2}-2xy+y^{2}}{4}}={\frac {(y-x)^{2}}{4}}\,,$

d.h. bei ${}x=y$. In einem Punkt ${}(x,x)$ verhält sich die Abbildung ${}\varphi$ insofern gut, dass das Bild davon (also $(2x,x^{2})$) nur ein Urbild (nämlich $(x,x)$) besitzt. Diese Eigenschaft überträgt sich aber auf keine offene Umgebung des Punktes, da ja ${}(x+h,x-h)$ und ${}(x-h,x+h)$ beide auf ${}(2x,x^{2}-h^{2})$ abgebildet werden. In dieser Hinsicht verhalten sich die anderen Punkte besser. Es sei ${}(x_{0},y_{0})$ gegeben mit (sagen wir)

${}y_{0}>x_{0}\,.$

Dann besitzt

${}(u_{0},v_{0})=(x_{0}+y_{0},x_{0}y_{0})\,$

wie oben ausgerechnet zwei Urbildpunkte, und zwar ist (der Startpunkt legt die Vorzeichen fest)

${}(x_{0},y_{0})=\left(-{\sqrt {{\frac {u_{0}^{2}}{4}}-v_{0}}}+{\frac {u_{0}}{2}},\,{\sqrt {{\frac {u_{0}^{2}}{4}}-v_{0}}}+{\frac {u_{0}}{2}}\right)\,.$

Diese Formeln kann man unter der Bedingung, dass

${}{\frac {u^{2}}{4}}-v>0\,,$

als „lokale Umkehrabbildung“ interpretieren, und dies ist in einer offenen Umgebung ${}U_{2}$ von ${}(u_{0},v_{0})$ erfüllt. Das Bild von ${}U_{2}$ unter dieser lokalen Umkehrabbildung ist eine offene Umgebung ${}U_{1}$ von ${}(x_{0},y_{0})$, und die Einschränkung führt zu einer bijektiven Abbildung

$\varphi {|}_{U_{1}}\colon U_{1}\longrightarrow U_{2}$

mit der angegebenen Umkehrabbildung.