R^2 +/Quotient und Gegenquotient/Kritische Punkte/Aufgabe/Lösung

1. Das totale Differential ist

   ${\left(D\phi \right)}_P=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{y}& -\frac{x}{y^2}\\ -\frac{y}{x^2}& \frac{1}{x}\end{array}\right).$

2. Es ist

   $det\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{y}& -\frac{x}{y^2}\\ -\frac{y}{x^2}& \frac{1}{x}\end{array}\right)=\frac{1}{xy}-\frac{xy}{x^2{y}^2}=0,$

   es gibt also keine regulären Punkte.

3. Man kann die Abbildung auffassen als die Hintereinanderschaltung von

   ${ℝ}_{+}\times {ℝ}_{+}⟶{ℝ}_{+},(x,y)⟼\frac{x}{y},$

   und

   ${ℝ}_{+}⟶{ℝ}_{+}\times {ℝ}_{+},z⟼(z,\frac{1}{z}).$

   Somit kann das totale Differential, da es über einen eindimensionalen Raum faktorisiert, nirgendwo bijektiv sein.

Zur gelösten Aufgabe