R^2 +/Quotient und Gegenquotient/Kritische Punkte/Aufgabe/Lösung

1. Das totale Differential ist

   ${}\left(D\varphi \right)_{P}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{y}}&-{\frac {x}{y^{2}}}\\-{\frac {y}{x^{2}}}&{\frac {1}{x}}\end{pmatrix}}\,.$

2. Es ist

   ${}\det {\begin{pmatrix}{\frac {1}{y}}&-{\frac {x}{y^{2}}}\\-{\frac {y}{x^{2}}}&{\frac {1}{x}}\end{pmatrix}}={\frac {1}{xy}}-{\frac {xy}{x^{2}y^{2}}}=0\,,$

   es gibt also keine regulären Punkte.

3. Man kann die Abbildung auffassen als die Hintereinanderschaltung von

   $\mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,\left(x,\,y\right)\longmapsto {\frac {x}{y}},$

   und

   $\mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{+},\,z\longmapsto \left(z,\,{\frac {1}{z}}\right).$

   Somit kann das totale Differential, da es über einen eindimensionalen Raum faktorisiert, nirgendwo bijektiv sein.

Zur gelösten Aufgabe