R^n/Offene Teilmenge/Zusammenhängend und wegzusammenhängend/Fakt/Beweis

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Beweis

Die eine Richtung folgt aus Fakt. Für die andere Richtung sei zusammenhängend. Zu einem Punkt betrachten wir die Menge

Diese Menge ist offen, da offene Bälle wegzusammenhängend sind und man stetige Wege aneinander legen kann. Aus diesem Grund ist für zwei Punkte entweder oder aber . Wenn nicht wegzusammenhängend wäre, so wäre und es gäbe eine Zerlegung

in nichtleere offene Teilmengen im Widerspruch zum Zusammenhang.

Zur bewiesenen Aussage