Räume/Produkt/Funktionen/Bemerkung

Es seien $V$ und $W$ geometrische Objekte (topologische Räume, Mannigfaltigkeiten, Varietäten, beringte Räume), wobei klar sein soll, was die darauf adäquaten definierten Funktionen sein sollen. Jedenfalls soll eine Funktion von der Form $f:V\to K$ in einen festgelegten Körper $K$ sein, wodurch eine Ringstruktur auf der Menge der Funktionen gestiftet wird. Über die Projektionen

$p_V:V\times W⟶V$

und

$p_W:V\times W⟶W$

definiert eine Funktion auf $V$ (bzw. auf $W$) direkt eine Funktion auf $V\times W$, indem man einfach die Hintereinanderschaltung

$V\times W\stackrel{p_V}{⟶}V\stackrel{f}{⟶}K$

betrachtet. Zu einer Funktion $f$ auf $V$ und einer Funktion $g$ auf $W$ kann man auf $V\times W$ die Funktion

$V\times W\stackrel{f\times g}{⟶}K\times K\stackrel{\cdot }{⟶}K$

betrachten, wobei $\cdot$ die Multiplikation auf dem Körper bezeichnet. Diese Abbildung bezeichnen wir (aus gutem Grund) mit $f\otimes g$. Es ist also

$(f\otimes g)(x,y)=f(x)\cdot g(y).$

Dabei stimmt $f\otimes 1$ mit der über die Projektion nach $V$ gewonnenen Funktion $f\circ p_V$ überein. Ferner gilt im Ring der Funktionen auf der Produktmenge die Beziehung

$f\otimes g=(f\otimes 1)\cdot (1\otimes g).$

Keineswegs sind alle Funktionen auf $V\times W$ von diesem Produkttyp, beispielsweise kann man $(f\otimes 1)+(1\otimes g)$ im Allgemeinen nicht auf diese Gestalt bringen.