R/Ebene und Parabolid/Schnittverhalten/Beispiel

Im ${ℝ}^3$ betrachten wir die Ebene  $Y=V(z)$  und das Paraboloid  $Z=V(z-x^2-y^2)$.  Der Durchschnitt besteht allein aus dem Nullpunkt. Das bedeutet, dass der Durchschnitt der beiden Flächen, die jeweils die Kodimension $1$ haben, die Kodimension $3$ besitzt. Allerdings sieht diese Berechnung anders aus, wenn man die Krulldimensionen der Ringe und nicht die „sichtbaren“ reellen Punkte betrachtet. Es ist

$Y\cap Z=V(z,z-x^2-y^2)=V(z,x^2+y^2)$

und der zugehörige Koordinatenring des Durchschnittes ist $K[x,y]/(x^2+y^2)$, der eindimensional ist.