R/Ebene und Parabolid/Schnittverhalten/Beispiel

Im ${}\mathbb {R} ^{3}$ betrachten wir die Ebene ${}Y=V(z)$ und das Paraboloid ${}Z=V{\left(z-x^{2}-y^{2}\right)}$. Der Durchschnitt besteht allein aus dem Nullpunkt. Das bedeutet, dass der Durchschnitt der beiden Flächen, die jeweils die Kodimension ${}1$ haben, die Kodimension ${}3$ besitzt. Allerdings sieht diese Berechnung anders aus, wenn man die Krulldimensionen der Ringe und nicht die „sichtbaren“ reellen Punkte betrachtet. Es ist

${}Y\cap Z=V{\left(z,z-x^{2}-y^{2}\right)}=V{\left(z,x^{2}+y^{2}\right)}\,$

und der zugehörige Koordinatenring des Durchschnittes ist ${}K[x,y]/{\left(x^{2}+y^{2}\right)}$, der eindimensional ist.