R/Punkt/Stetige Funktionen/Kein Hauptidealbereich/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die stetige Funktion

${}f(x)={\begin{cases}{\sqrt {x}},\,{\text{ für }}x\geq 0\,,\\{\sqrt {-x}},\,{\text{ für }}x<0\,,\end{cases}}\,$

auf ${}\mathbb {R}$. Wir behaupten, dass ${}f$ nicht zu dem von der Funktion ${}x$ erzeugten Hauptideal gehört, und zwar in keiner offenen Umgebung des Nullpunktes. Nehmen wir

${}f(x)=g(x)x\,$

mit einer stetigen Funktion ${}g$ an. Dann gilt außerhalb des Nullpunktes im positiven Bereich die Gleichung

${}g(x)={\frac {f(x)}{x}}={\frac {\sqrt {x}}{x}}={\frac {1}{\sqrt {x}}}\,.$

Für ${}x\rightarrow 0$ geht aber ${}{\sqrt {x}}$ gegen ${}0$ und daher geht ${}{\frac {1}{\sqrt {x}}}$ gegen unendlich und somit kann ${}g$ nicht stetig in den Nullpunkt hinein fortgesetzt werden.

Zur gelösten Aufgabe