Radikalerweiterung/Normale Hülle ebenfalls/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei eine Körperkette aus einfachen Radikalerweiterungen gegeben, also

${}K=L_{0}\subseteq L_{1}\subseteq \ldots \subseteq L_{n}=L\,$

mit ${}L_{i+1}=L_{i}(x_{i})$ und ${}x_{i}^{m}\in L_{i}$. Wir zeigen durch Induktion über ${}n$, dass die normale Hülle von ${}L$ über ${}K$ ebenfalls eine ${}m$-Radikalerweiterung ist. Bei ${}n=0$ ist nichts zu zeigen. Wir nehmen also an, dass die Aussage schon für kleinere Zahlen ${}n'<n$ bewiesen sei. Es sei ${}L\subseteq N$ die normale Hülle, die die normale Hülle ${}N_{n-1}$ von ${}L_{n-1}$ enthält. Nach Induktionsvoraussetzung ist ${}K\subseteq N_{n-1}$ eine ${}m$-Radikalerweiterung. In ${}N_{n-1}$ zerfallen die Minimalpolynome der ${}x_{i}$, ${}i\leq n-2$, und in ${}N$ zerfallen die Minimalpolynome der ${}x_{i}$, ${}i\leq n-1$. Daher ist ${}N=N_{n-1}(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k})$, wobei die ${}\alpha _{j}$ die Nullstellen des Minimalpolynoms von ${}x_{n-1}$ sind. Wegen ${}x_{n-1}^{m}=a_{n-1}\in L_{n-1}$ sind diese ${}\alpha _{j}$ auch Nullstellen des Polynoms ${}X^{m}-a_{n-1}$.

Zur bewiesenen Aussage