Radikalerweiterung/Normale Hülle ebenfalls/Fakt/Beweis

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Beweis

Es sei eine Körperkette aus einfachen Radikalerweiterungen gegeben, also

mit und . Wir zeigen durch Induktion über , dass die normale Hülle von über ebenfalls eine -Radikalerweiterung ist. Bei ist nichts zu zeigen. Wir nehmen also an, dass die Aussage schon für kleinere Zahlen bewiesen sei. Es sei die normale Hülle, die die normale Hülle von enthält. Nach Induktionsvoraussetzung ist eine -Radikalerweiterung. In zerfallen die Minimalpolynome der , , und in zerfallen die Minimalpolynome der , . Daher ist , wobei die die Nullstellen des Minimalpolynoms von sind. Wegen sind diese auch Nullstellen des Polynoms .

Zur bewiesenen Aussage