Radikalerweiterung/Normale Hülle ebenfalls/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei eine Körperkette aus einfachen Radikalerweiterungen gegeben, also

${}K=L_{0}\subseteq L_{1}\subseteq \ldots \subseteq L_{n}=L\,$

mit  ${}L_{i+1}=L_{i}(x_{i})$  und  ${}x_{i}^{m}\in L_{i}$.  Wir zeigen durch Induktion über ${}n$, dass die normale Hülle von ${}L$ über ${}K$ ebenfalls eine ${}m$-Radikalerweiterung ist. Bei  ${}n=0$  ist nichts zu zeigen. Wir nehmen also an, dass die Aussage schon für kleinere Zahlen  ${}n'<n$  bewiesen sei. Es sei  ${}L\subseteq N$  die normale Hülle, die die normale Hülle ${}N_{n-1}$ von ${}L_{n-1}$ enthält. Nach Induktionsvoraussetzung ist  ${}K\subseteq N_{n-1}$  eine ${}m$-Radikalerweiterung. In ${}N_{n-1}$ zerfallen die Minimalpolynome der ${}x_{i}$, ${}i\leq n-2$, und in ${}N$ zerfallen die Minimalpolynome der ${}x_{i}$, ${}i\leq n-1$. Daher ist  ${}N=N_{n-1}(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k})$,  wobei die ${}\alpha _{j}$ die Nullstellen des Minimalpolynoms von ${}x_{n-1}$ sind. Wegen  ${}x_{n-1}^{m}=a_{n-1}\in L_{n-1}$  sind diese ${}\alpha _{j}$ auch Nullstellen des Polynoms ${}X^{m}-a_{n-1}$.

Zur bewiesenen Aussage