Radiusabbildung/Bildmaß/Maß mit der Dichte c nt^(n-1)/Aufgabe

Wir betrachten das Bildmaß ${}\mu =\varphi _{*}\lambda ^{n}$ zur Abbildung ($n\geq 1$)

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto {\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.$

a) Zeige, dass ${}\mu$ ein ${}\sigma$-endliches Maß auf ${}\mathbb {R}$ ist.

b) Zeige, dass ${}\mu$ bezüglich ${}\lambda ^{1}$ die Dichte

$h(t)={\begin{cases}0,{\text{ falls }}t<0\,,\\n\beta _{n}t^{n-1}{\text{ falls }}t\geq 0\,,\end{cases}}$

besitzt, wobei ${}\beta _{n}$ das Volumen der ${}n$-dimensionalen Einheitskugel bezeichnet.

Eine Lösung erstellen