Rationale Funktion/Taylor-Entwicklung/1/Aufgabe/Lösung

Die ersten beiden Ableitungen von ${}f$ sind

${}{\begin{aligned}f'(x)&={\frac {(2x-4)(x-6)-(x^{2}-4x+5)}{(x-6)^{2}}}\\&={\frac {x^{2}-12x+19}{(x-6)^{2}}}\end{aligned}}$

und

${}{\begin{aligned}f^{\prime \prime }(x)&=\left({\frac {x^{2}-12x+19}{(x-6)^{2}}}\right)'\\&={\frac {(2x-12)(x-6)^{2}-2(x^{2}-12x+19)(x-6)}{(x-6)^{4}}}\\&=2{\frac {(x-6)^{2}-(x^{2}-12x+19)}{(x-6)^{3}}}\\&=2{\frac {17}{(x-6)^{3}}}\\&={\frac {34}{(x-6)^{3}}}.\end{aligned}}$

Somit ist

${}f(-1)={\frac {1+4+5}{-7}}=-{\frac {10}{7}}\,,$

${}f'(-1)={\frac {1+12+19}{(-7)^{2}}}={\frac {32}{49}}\,,$

${}f^{\prime \prime }(-1)={\frac {34}{(-7)^{3}}}=-{\frac {34}{343}}\,.$

Somit ist die Taylorentwicklung in ${}a=-1$ bis zum Grad ${}2$ gleich

$-{\frac {10}{7}}+{\frac {32}{49}}(x+1)-{\frac {17}{343}}(x+1)^{2}.$

Zur gelösten Aufgabe