Rationale Funktion/Taylor-Entwicklung/1/Aufgabe/Lösung

Die ersten beiden Ableitungen von $f$ sind

\begin{matrix} f^{'} (x) & = \frac{(2 x - 4) (x - 6) - (x^{2} - 4 x + 5)}{(x - 6)^{2}} \\ = \frac{x^{2} - 12 x + 19}{(x - 6)^{2}} \end{matrix}

und

\begin{matrix} f^{″} (x) & = {(\frac{x^{2} - 12 x + 19}{(x - 6)^{2}})}^{'} \\ = \frac{(2 x - 12) (x - 6)^{2} - 2 (x^{2} - 12 x + 19) (x - 6)}{(x - 6)^{4}} \\ = 2 \frac{(x - 6)^{2} - (x^{2} - 12 x + 19)}{(x - 6)^{3}} \\ = 2 \frac{17}{(x - 6)^{3}} \\ = \frac{34}{(x - 6)^{3}} . \end{matrix}

Somit ist

f (- 1) = \frac{1 + 4 + 5}{- 7} = - \frac{10}{7},

f^{'} (- 1) = \frac{1 + 12 + 19}{(- 7)^{2}} = \frac{32}{49},

f^{″} (- 1) = \frac{34}{(- 7)^{3}} = - \frac{34}{343} .

Somit ist die Taylorentwicklung in $a = - 1$ bis zum Grad $2$ gleich

- \frac{10}{7} + \frac{32}{49} (x + 1) - \frac{17}{343} (x + 1)^{2} .