Rationale Funktion/Taylor-Entwicklung/2/Aufgabe/Lösung

Die ersten beiden Ableitungen von ${}f$ sind

{}{\begin{aligned}f'(x)&={\frac {(2x-7)(x-4)-(x^{2}-7x)}{(x-4)^{2}}}\\&={\frac {x^{2}-8x+28}{(x-4)^{2}}}\end{aligned}}

und

{}{\begin{aligned}f^{\prime \prime }(x)&=\left({\frac {x^{2}-8x+28}{(x-4)^{2}}}\right)'\\&={\frac {(2x-8)(x-4)^{2}-2(x^{2}-8x+28)(x-4)}{(x-4)^{4}}}\\&=2{\frac {(x-4)^{2}-(x^{2}-8x+28)}{(x-4)^{3}}}\\&=2{\frac {-12}{(x-4)^{3}}}\\&={\frac {-24}{(x-4)^{3}}}.\end{aligned}}

Somit ist

{}f(-3)=-{\frac {30}{7}}\,,

{}f'(-3)={\frac {9+24+28}{49}}={\frac {61}{49}}\,,

{}f^{\prime \prime }(-3)={\frac {-24}{(-7)^{3}}}={\frac {24}{343}}\,.

Somit ist die Taylorentwicklung in ${}a=-3$ bis zum Grad ${}2$ gleich

-{\frac {30}{7}}+{\frac {61}{49}}(x+3)+{\frac {12}{343}}(x+3)^{2}.