Rationale Funktion/Taylor-Entwicklung/2/Aufgabe/Lösung

Die ersten beiden Ableitungen von $f$ sind

$\begin{array}{cc}{f}^{\prime }(x)& =\frac{(2x-7)(x-4)-(x^2-7x)}{(x-4{)}^2}\\ & =\frac{x^2-8x+28}{(x-4{)}^2}\end{array}$

und

$\begin{array}{cc}{f}^{\prime \prime }(x)& =\left(\frac{x^2-8x+28}{(x-4{)}^2}\right)\\ & =\frac{(2x-8)(x-4{)}^2-2(x^2-8x+28)(x-4)}{(x-4{)}^4}\\ & =2\frac{(x-4{)}^2-(x^2-8x+28)}{(x-4{)}^3}\\ & =2\frac{-12}{(x-4{)}^3}\\ & =\frac{-24}{(x-4{)}^3}.\end{array}$

Somit ist

$f(-3)=-\frac{30}{7},$

$f^{\prime }(-3)=\frac{9+24+28}{49}=\frac{61}{49},$

$f^{\prime \prime }(-3)=\frac{-24}{(-7{)}^3}=\frac{24}{343}.$

Somit ist die Taylorentwicklung in  $a=-3$  bis zum Grad $2$ gleich

$-\frac{30}{7}+\frac{61}{49}(x+3)+\frac{12}{343}(x+3{)}^2.$

Zur gelösten Aufgabe