Rationale Funktion/Wert 1/Approximation/Aufgabe/Lösung

${}{\frac {x^{2}-5x+7}{x^{3}}}=1\,$

Die Funktion hat an der Stelle ${}1$ den Wert

${}{\frac {1^{2}-5+7}{1}}=3>1\,$

und an der Stelle ${}2$ den Wert

${}{\frac {4-10+7}{8}}={\frac {1}{8}}<1\,,$

nach dem Zwischenwertsatz muss es also dazwischen ein Element mit dem Wert ${}1$ geben. Wir verwenden die Intervallhalbierung zur Approximation einer solchen Stelle. An der Stelle ${}{\frac {3}{2}}$ ist der Wert

${}{\frac {\left({\frac {3}{2}}\right)^{2}-5\left({\frac {3}{2}}\right)+7}{\left({\frac {3}{2}}\right)^{3}}}={\frac {{\frac {9}{4}}-5\left({\frac {3}{2}}\right)+7}{\frac {27}{8}}}={\frac {18-60+56}{27}}={\frac {14}{27}}<1\,.$

Eine Lösung muss sich also im Intervall ${}[1,{\frac {3}{2}}]$ befinden. An der Stelle ${}{\frac {5}{4}}$ ist

${}{\frac {\left({\frac {5}{4}}\right)^{2}-5\left({\frac {5}{4}}\right)+7}{\left({\frac {5}{4}}\right)^{3}}}={\frac {4\cdot 25-25\cdot 16+7\cdot 64}{125}}={\frac {100-400+448}{125}}={\frac {148}{125}}>1\,.$

Eine Lösung muss sich also im Intervall ${}[{\frac {5}{4}},{\frac {3}{2}}]$ befinden. An der Stelle ${}{\frac {11}{8}}$ ist

${}{\frac {\left({\frac {11}{8}}\right)^{2}-5\left({\frac {11}{8}}\right)+7}{\left({\frac {11}{8}}\right)^{3}}}={\frac {8\cdot 121-55\cdot 64+7\cdot 512}{1331}}={\frac {968-3520+3584}{1331}}={\frac {1032}{1331}}<1\,.$

Daher liegt eine Lösung im Intervall ${}[{\frac {10}{8}},{\frac {11}{8}}]$.

Zur gelösten Aufgabe