Rationale Funktion/X^2+6X+1 durch 4X+4/Taylorentwicklung/1/Aufgabe/Lösung

Nach der Quotientenregel ist

${}f'(x)={\frac {(2x+6)(4x+4)-4(x^{2}+6x+1)}{(4x+4)^{2}}}={\frac {4x^{2}+8x+20}{16(x^{2}+2x+1)}}={\frac {x^{2}+2x+5}{4(x^{2}+2x+1)}}\,$

und

${}{\begin{aligned}f^{\prime \prime }(x)&={\frac {4(2x+2)(x^{2}+2x+1)-4(x^{2}+2x+5)(2x+2)}{16(x^{2}+2x+1)^{2}}}\\&={\frac {(2x+2){\left((x^{2}+2x+1)-(x^{2}+2x+5)\right)}}{4(x^{2}+2x+1)^{2}}}\\&=-{\frac {2x+2}{(x^{2}+2x+1)^{2}}}.\end{aligned}}$

Es ist

${}f(1)=1\,,$

${}f'(1)={\frac {1}{2}}\,$

und

${}f^{\prime \prime }(1)={\frac {-4}{16}}=-{\frac {1}{4}}\,.$

Somit ist das gesuchte Taylor-Polynom gleich

$1+{\frac {1}{2}}(x-1)-{\frac {1}{8}}(x-1)^{2}.$

Zur gelösten Aufgabe