Rationale Funktion/x^2+1 durch x ist 3/Achtelbestimmung/Aufgabe/Lösung

Die Gleichung ist (für ${}x\neq 0$ ) äquivalent zu

{}f(x)=x^{3}-3x+1=0\,.

Für ${}x=1$ ist

{}f(1)=-1\,

und für ${}x=2$ ist

{}f(2)=3\,.

Nach dem Zwischenwertsatz gibt es also ein ${}x\in [0,1]$ mit

{}f(x)=0\,.

Um ein solches ${}x$ anzunähern, verwenden wir die Intervallhalbierungsmethode. Die Intervallmitte ist ${}{\frac {3}{2}}$ und es ist

{}{\begin{aligned}f{\left({\frac {3}{2}}\right)}&={\left({\frac {3}{2}}\right)}^{3}-3\cdot {\frac {3}{2}}+1\\&={\frac {27-36+8}{8}}\\&=-{\frac {1}{8}}\\&<0.\end{aligned}}

Eine Nullstelle liegt also im Intervall ${}[{\frac {3}{2}},2]$ . Die nächste Intervallmitte ist ${}{\frac {7}{4}}$ . Es ist

{}{\begin{aligned}f{\left({\frac {7}{4}}\right)}&={\left({\frac {7}{4}}\right)}^{3}-3\cdot {\frac {7}{4}}+1\\&={\frac {343-336+64}{64}}\\&={\frac {71}{64}}\\&>0.\end{aligned}}

Eine Nullstelle liegt also im Intervall ${}[{\frac {3}{2}},{\frac {7}{4}}]$ . Die nächste Intervallmitte ist ${}{\frac {13}{8}}$ . Es ist

{}{\begin{aligned}f{\left({\frac {13}{8}}\right)}&={\left({\frac {13}{8}}\right)}^{3}-3\cdot {\frac {13}{8}}+1\\&={\frac {2197-2496+512}{512}}\\&={\frac {213}{512}}\\&>0.\end{aligned}}

Eine Nullstelle liegt also in

{}[{\frac {12}{8}},{\frac {13}{8}}]

, die Intervalllänge ist ein Achtel.