Rationale Funktion/x durch x^2+1/Taylorentwicklung/Aufgabe/Lösung

Nach der Quotientenregel ist

${}f'(x)={\frac {(x^{2}+1)-x(2x)}{(x^{2}+1)^{2}}}={\frac {-x^{2}+1}{(x^{2}+1)^{2}}}\,$

und

${}f^{\prime \prime }(x)={\frac {-2x(x^{2}+1)^{2}-4(1-x^{2})(x^{2}+1)}{(x^{2}+1)^{4}x}}\,.$

Es ist

${}f(1)={\frac {1}{2}}\,,$

${}f'(1)=0\,$

und

${}f^{\prime \prime }(1)={\frac {-2\cdot 4}{16}}=-{\frac {1}{2}}\,.$

Somit ist das gesuchte Taylor-Polynom gleich

${\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}(x-1)^{2}.$

Zur gelösten Aufgabe