Rationale Parametrisierung/Gleichung/4/Aufgabe/Lösung

Wir arbeiten mit den gleichgradigen Homogenisierungen ${}H_{1}=T^{2}+S^{2}$, ${}H_{2}=S(T+S)=ST+S^{2}$ und ${}H_{3}=ST$. Daraus ergeben sich sechs Monome vom Grad ${}4$ (bezogen auf ${}S,T$). Da es insgesamt nur ${}5$ Monome vom Grad ${}4$ gibt, muss dort eine lineare Abhängigkeit bestehen. Es ist

${}F_{1}=H_{1}H_{1}=T^{4}+2S^{2}T^{2}+S^{4}\,,$

${}F_{2}=H_{2}H_{2}=S^{2}T^{2}+2S^{3}T+S^{4}\,,$

${}F_{3}=H_{3}H_{3}=S^{2}T^{2}\,,$

${}F_{4}=H_{1}H_{2}=ST^{3}+S^{2}T^{2}+S^{3}T+S^{4}\,,$

${}F_{5}=H_{1}H_{3}=ST^{3}+S^{3}T\,$

und

${}F_{6}=H_{2}H_{3}=S^{2}T^{2}+S^{3}T\,.$

Da ${}T^{4}$ nur in ${}F_{1}$ vorkommt, muss es eine lineare Relation zwischen ${}F_{2},F_{3},F_{4},F_{5},F_{6}$ geben. Da ${}F_{3}$ ein Monom ist, konzentrieren wir uns auf die relevanten Monome ${}ST^{3},S^{3}T,S^{4}$ und ${}F_{2},F_{4},F_{5},F_{6}$ Es ist

${}F_{2}-F_{4}+F_{5}-2F_{6}=-2S^{2}T^{2}\,.$

Also ist

${}F_{2}+2F_{3}-F_{4}+F_{5}-2F_{6}=0\,$

eine lineare Relation. Somit ist

${}F=V^{2}+2W^{2}-UV+UW-2VW\,$

ein Polynom vom Grad ${}2$, das ${}0$ ergibt, wenn man die Variablen durch die ${}H_{1},H_{2},H_{3}$ ersetzt. Wir dividieren durch ${}W^{2}$ und erhalten

${\left({\frac {V}{W}}\right)}^{2}+2-{\frac {U}{W}}\cdot {\frac {V}{W}}+{\frac {U}{W}}-2{\frac {V}{W}}.$

Wenn man darin ${}H_{1},H_{2},H_{3}$ einsetzt und dann ${}S$ durch ${}1$ ersetzt, kommt nach wir vor ${}0$ raus. Die entstehenden Ersetzungen für ${}U/W$ bzw. ${}V/W$ sind aber die ursprünglichen rationalen Funktionen. Ein annullierendes Polynom ist demnach

$Y^{2}-XY+X-2Y+2.$

Als Probe betrachten wir

${}{\begin{aligned}{\left({\frac {t+1}{t}}\right)}^{2}-{\frac {t^{2}+1}{t}}\cdot {\frac {t+1}{t}}+{\frac {t^{2}+1}{t}}-2{\frac {t+1}{t}}+2&={\frac {t^{2}+2t+1-t^{3}-t^{2}-t-1+t^{3}+t-2t^{2}-2t+2t^{2}}{t^{2}}}\\&=0.\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe