Rationale Parametrisierung/Hyperbel/Keine polynomiale Parametrisierung/Aufgabe/Lösung

Eine rationale Parametrisierung einer ebenen Kurve ${}C$ ist eine nichtkonstante, durch rationale Polynome auf einer offenen Teilmenge ${}U$ der affinen Geraden ${}{\mathbb {A} }_{K}^{1}$ gegebene Abbildung ${}U\rightarrow C\subset {\mathbb {A} }_{K}^{2}$. Im Fall der Hyperbel ${}V(XY-1)$ wird eine rationale Parametrisierung am einfachsten gegeben durch

$t\mapsto (t,t^{-1}),$

die für ${}t\neq 0$ definiert ist.

Eine polynomiale Parametrisierung muss auf der ganzen affinen Gerade definiert sein, sie ist also durch zwei nichtkonstante Polynome ${}F,G$ gegeben. Für eine solche Parametrisierung der Hyperbel muss es also Polynome ${}F,G$ in einer Variablen mit ${}FG=1$ geben. Die einzigen Einheiten im Polynomring sind aber die Konstanten ${}\neq 0$.

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