Rationale Quadrik/X^2+Y^2 ist 5/Parametrisierung/Aufgabe/Lösung

Wir verschieben den Punkt ${}(1,2)$ in den Nullpunkt, indem wir die neuen Variablen  ${}U=X-1$  und  ${}V=Y-2$  einführen. Die Gleichung wird dann zu

${}X^{2}+Y^{2}-5=(U+1)^{2}+(V+2)^{2}-5=U^{2}+V^{2}+2U+4V\,.$

Die Formeln für die Parametrisierung mit der Geraden  ${}V=1$  liefern

${}P_{1}=-t{\left(2t+4\right)}\,,$

${}P_{2}=-{\left(2t+4\right)}\,$

und

${}Q=t^{2}+1\,.$

Die Parametrisierung ist also durch

$\mathbb {Q} \longrightarrow C\subset {\mathbb {A} }_{\mathbb {Q} }^{2},\,t\longmapsto \left({\frac {-t{\left(2t+4\right)}}{t^{2}+1}},\,{\frac {-{\left(2t+4\right)}}{t^{2}+1}}\right)$

gegeben. Daraus ergibt sich für die Ausgangsgleichung die Parametrisierung

${}X=-t{\frac {\left(2t+4\right)}{t^{2}+1}}+1={\frac {-t^{2}-4t+1}{t^{2}+1}}\,$

und

${}Y={\frac {-{\left(2t+4\right)}}{t^{2}+1}}+2={\frac {2t^{2}-2t-2}{t^{2}+1}}\,.$

Zur gelösten Aufgabe