Rationale Zahlen/Addition/Mögliche Multiplikationen/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Q} ,\,x\longmapsto cx.$

Da dies eine lineare bijektive Funktion ist, wird die Addition in die Addition übersetzt. Wegen  ${}\varphi (1)=c$  und

${}\varphi (xy)=cxy={\frac {cxcy}{c}}=(cx)*(cy)=\varphi (x)*\varphi (y)\,$

wird die übliche Multiplikation auf ${}\mathbb {Q}$ in die neue Multiplikation ${}*$ übersetzt. Daher übertragen sich sämtliche algebraischen Eigenschaften von ${}(\mathbb {Q} ,0,1,+,\cdot )$ auf ${}(\mathbb {Q} ,0,c,+,*)$ und es liegt ein Körper mit ${}c$ als neutralem Element für ${}*$ vor.

Zur gelösten Aufgabe