Rationale Zahlen/Brüche/Zahlengerade/Textabschnitt

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Konstruktionen 007.jpg

Man kann die rationalen Zahlen auf der Zahlengeraden platzieren (die ganzen Zahlen seien dort schon platziert). Die rationale Zahl mit findet man so: Man unterteilt die Strecke von nach in gleichlange Teilstrecken. Die Zahl ist dann die rechte Grenze des (von links) ersten Teilintervalls. Insbesondere ist die Länge des Intervalls, dass -fach nebeneinander gelegt die Einheitsstrecke von bis (das Einheitsintervall) ergibt. Unter Bezugnahme auf elementargeometrische Eigenschaften der Ebene kann man diese Unterteilung folgendermaßen durchführen: Man betrachtet den linearen Graphen zum proportionalen Zusammenhang, der an der Stelle den Wert besitzt. Die Gerade, die senkrecht auf der -Achse steht und durch den Punkt geht, trifft den Graphen in einem Punkt , wobei die Länge der Verbindungsstrecke von zu ist. Aufgrund des Strahlensatzes, angewendet auf die Strahlen Achse und linearer Graph und die durch und gegebenen parallelen Geraden, gilt die Verhältnisgleichheit

Die Streckenlänge kann man dann parallel auf die -Achse verschieben, das Ergebnis ist der gesuchte Platz für . Umgekehrt formuliert: Da das -fache der Strecke von nach die Länge besitzt, ist das -fache der Strecke gleich der Länge . Achtung! Die Steigung des proportionalen Zusammenhangs (die Proportionalitätskonstante), der an der Stelle den Wert besitzt, ist . Diese Zahl ergibt sich geometrisch, wenn man den Graphen mit der durch gegebenen Geraden (also die Gerade, die parallel zur -Achse ist und durch den Punkt verläuft) schneidet, als Abstand zwischen dem Schnittpunkt und .

Die geometrische Ausführung der vektoriellen Addition auf der Zahlengeraden. Man muss einen Zirkel einsetzen und parallele Geraden konstruieren können. Die spielt keine Rolle.

Die Addition und die Multiplikation lassen sich ebenfalls auf der Zahlengeraden geometrisch deuten bzw. durchführen. Die Addition von zwei Punkten und ist die vektorielle Addition der Pfeile und , wobei der Startpunkt des einen Vektors parallel verschoben an den Endpunkt des anderen Vektors angelegt wird. Für positive Zahlen bedeutet das einfach, dass die zugehörigen, von ausgehenden Strecken aneinandergelegt werden. Die Korrektheit dieser Interpretation beruht (für rationale Zahlen) darauf, dass man die beiden Strecken als ganzzahlige Vielfache einer Vergleichsstrecke darstellen kann (Übergang zu einem Hauptnenner), also und mit schreiben kann. Dann ist die Hintereinanderlegung der Strecken einfach .

Für die geometrische Deutung der Multiplikation muss man den Strahlensatz heranziehen, man muss die fixiert haben und man muss Zirkel und Lineal zur Verfügung haben. Die zu multiplizierenden Punkte und seien auf der Zahlengerade gegeben, die wir als -Achse in einem Koordinatensystem auffassen. Auf der -Achse (man könnte auch eine andere Gerade durch den Nullpunkt nehmen) markieren wir den Punkt , der zum Nullpunkt den Abstand und somit die Koordinanten besitzt. Wir zeichnen die Gerade durch die beiden Punkte und . Zu dieser Geraden zeichnen wir die parallele Gerade durch den Punkt . Der Schnittpunkt dieser Geraden mit der -Achse sei . Mit dem Strahlensatz gilt dann die Beziehung , also ist

Das Produkt ist also der konstruierte Punkt . Für den Nachweis der Korrektheit dieser geometrischen Multiplikation, die keinen Bezug auf den Strahlensatz nimmt, siehe Aufgabe.

Als Punkte auf der Zahlengeraden lassen sich rationale Zahlen ihrer Größe nach vergleichen. In der geometrischen Vorstellung bedeutet für beliebige Punkte und aus der rechten Hälfte der Zahlengeraden (dem positiven Zahlenstrahl), dass die Strecke in der Strecke enthalten ist, bzw., dass rechts von liegt. Für eine rationale Zahl wissen wir, dass ein ganzzahliges (geometrisches) Vielfaches davon, also die -fache Hintereinanderlegung der Strecke, eine ganze Zahl ergibt. Für zwei rationale Zahlen und gibt es daher eine natürliche Zahl mit der Eigenschaft, dass sowohl als auch ganzzahlig sind. Damit können wir den Vergleich von rationalen Zahlen auf den Vergleich von ganzen Zahlen zurückführen. Wenn und mit und ist, so kann man nehmen und erhält die Beziehung

genau dann, wenn in die Beziehung

gilt. Hier begegnen wir wieder dem Überkreuzungsprinzip.