Rationale Zahlen/Multiplikative Untergruppen/Überabzählbar/Aufgabe/Lösung

Zu einer jeden Teilmenge ${}T$ von Primzahlen betrachten wir

${}G(T)={\left\{\prod _{p\in T}p^{r_{p}}\mid r_{p}\in \mathbb {Z} \right\}}\subseteq \mathbb {Q} ^{\times }\,,$

wobei in den Produkten stets ${}r_{p}=0$ bis auf endlich viele Ausnahmen ist. Ein Produkt von zwei solchen Elementen ist wieder von der gleichen Form, und das inverse Element zu ${}\prod _{p\in T}p^{r_{p}}$ ist ${}\prod _{p\in T}p^{-r_{p}}$, also auch von der gleichen Form. Es handelt sich also für jedes ${}T$ um eine Untergruppe der multiplikativen Gruppe. Für

${}T\neq S\,$

sind die zugehörigen Untergruppen verschieden, da bei ${}p\in S$ ${}p\notin T$,

auch ${}p\notin G(T)$ aufgrund der eindeutigen Primfaktorzerlegung gilt. Da die Menge der Primzahlen unendlich ist, ist ihre Potenzmenge überabzählbar, und das überträgt sich auf die soeben konstruierten Untergruppen.

Zur gelösten Aufgabe